теормех / ОТВЕТЫ ТЕОРМЕХ 1

(12.12)

; ;(12.13)

Осевые моменты инерции характеризуют меру инерции тел при вращательном движении. Центробежные моменты инерции характеризуют несимметричность распределения масс относительно координатных плоскостей.

Примеры расчета момента инерции для стержня и обруча.

101

103

104

Центр масс системы — это геометрическая точка, радиус-вектор которой определяется по формуле, а ее координаты по формулам

.

где — масса каждой k- й точки (или тела); — координаты k –й точки или центра тяжести k - го тела, входящих в

механическую систему; — масса всей системы.

Теорема о движении центра масс системы.

Центр масс механической системы движется как любая материальная точка, масса которой равна массе всей механической системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних сил.

Доказательство. Основное уравнение динамики для k - й материальной точки

.

Для всей механической системы

,

где — по свойству внутренних сил,

105

— главный вектор всех внешних сил, приложенных к системе,

.

Уравнение может быть записано в скалярной форме в проекциях на оси декартовых координат или на естественные оси. В декартовых осях имеет вид

.

Следствия из теоремы:

1. Если главный вектор внешних сил, действующих на систему,

равен нулю, то центр масс механической системы движется 1.равномерно и прямолинейно или 2.покоится.

2. Если проекция главного вектора внешних сил, действующих

на систему, на какую-либо ось равна нулю, то проекция центра масс на эту ось либо 1.покоится, 2.либо движется равномерно,

т,е., если , то .

3. Если в начальный момент система покоилась,

то — проекция центра масс покоится. При центр масс будет двигаться вдоль оси х с постоянной скоростью.

+Эти следствия выражают закон сохранения движения центра масс механической системы. При справедливо равенство

.

где — приращение координаты центра масс k~го тела при изменении положения тел в механической системе, равное проекции абсолютного перемещения этой точки на ось х

106

Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси.

Кинетический момент механической системы относительно неподвижного центра O является мерой движения системы вокруг этого центра. При решении задач обычно применятся не сам вектор

, а его проекции на оси неподвижной системы координат, которые называются кинетическими моментами относительно оси. Например,

- кинетический момент системы относительно неподвижной оси Oz

.

Кинетический момент механической системы складывается из кинетических моментов точек и тел, входящих в эту систему. Рассмотрим способы определения кинетического момента материальной точки и твердого тела при различных случаях их движения.

Для материальной точки с массой , имеющей скорость , кинетический момент относительно некоторой оси Oz определяется как момент вектора количества движения этой точки относительно выбранной оси:

Кинетический момент точки считается положительным, если со стороны положительного направления оси движение точки происходит против часовой стрелки.

Если точка совершает сложное движение, для определения ее кинетического момента следует вектор количества движения рассматривать как сумму количеств относительного и переносного движений ( рис.2.2 )

Тогда

( 2.3 )

Но , где - расстояние от точки до оси вращения, и

107

Рис. 2.2. Определение кинетического момента точки, совершающей сложное движение

Вторую составляющую вектора кинетического момента можно определить так же, как и момент силы относительно оси. Как и

для момента силы, величина равна нулю, если вектор относительной скорости лежит в одной плоскости с осью переносного вращения .

Кинетический момент твердого тела относительно неподвижного центра можно определить как сумму двух составляющих: первая из них характеризует поступательную часть движения тела вместе с его центром масс, вторая - движение системы вокруг центра масс:

Если тело совершает поступательное движение, то вторая составляющая равна нулю

.

Наиболее просто вычисляется кинетической момент твердого тела при его вращении вокруг неподвижной оси

,

где - момент инерции тела относительно оси вращения.

Основные формулы для вычисления моментов инерции простейших тел относительно главных центральных осей приведены в таблице

2.1.

Таблица 2.1

108

Моменты инерции некоторых однородных тел относительно центральных осей

Однородный

стержень

Тонкое кольцо

Однородный

диск

Прямоугольная

пластина

Треугольная

пластина

Продолжение таблицы 2.1

Круглый

цилиндр

Конус

Шар

109

Если ось вращения не проходит через центр масс тела, то момент инерции тела относительно этой оси может быть определен по теореме Штейнера

,

где m - масса тела,

d - расстояние между осью и осью , параллельной ей, но проходящей через центр масс тела.

Если ось вращения образует с главными осями Ox, Oy и Oz некоторые углы , и , то момент инерции относительно оси вращения можно выразить через моменты относительно главных осей по формуле:

Теорема об изменении кинетического момента механической системы при ее движении вокруг неподвижного центра формулируется следующим образом: полная производная по времени от вектора кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра O по величине и направлению равна главному моменту внешних сил, приложенных к механической системе, определенному относительно того же центра

При решении задач, в которых рассматриваются тела, вращающиеся вокруг неподвижной оси, используют теорему об изменении кинетического момента относительно неподвижной оси

( 2.4 )

Как и для теоремы о движении центра масс, теорема об изменении кинетического момента имеет следствия.

110