теормех / ОТВЕТЫ ТЕОРМЕХ 1

Вынужденные колебания материальной точки с учетом сопротивления

Дифференциальное уравнение движения материальной точки М, совершающей прямолинейное движение под действием восстанавливающей силы , возмущающей силы , изменяющейся по гармоническому закону (рис. 3.23), и силы сопротивления имеет вид

или

, (а)

где

.

Рис. 3.23

Общее решение уравнения (а) состоит из общего решения ypaвнения и частного решения данного уравнения (а): . Частное решение уравнения (а) имеет вид

,

где - амплитуда вынужденных колебаний с учетом сопротивления, определяется по зависимости

,

- величина сдвига фазы вынужденных колебаний по отношению к фазе возмущающей силы:

91

;

Общее решение уравнения (а) в зависимости от соотношения величин k и n имеет вид:

1)при n < k

2)при n > k

3)при n = k

.

Величины A и β в уравнениях, а также С1 и С2 в уравнении являются постоянными интегрирования и определяются по начальным условиям движения.

+Влияние сопротивления на вынужденные колебания материальной точки выражается в сдвиге фазы колебаний относительно фазы возмущающей силы и в уменьшении амплитуды колебаний по мере увеличения сопротивления.

111111111111111111111

Затухающие колебания (движения) материальной точки –

движение материальной точки, которое происходит

при наличии восстанавливающей силы и силы сопротивления движению.

92

Зависимость силы сопротивления движению от смещения или скорости определяется физической природы среды или связи, препятствующей движению.

Наиболее простой зависимостью является линейная зависимость

от скорости (вязкое сопротивление):

a - коэффициент вязкости

Учтем еще, что - проекция силы упругости. Тогда дифференциальное уравнение движения

запишется или, после преобразований к каноническому виду,

.

Характеристическое уравнение имеет корни

+Общее решение данного дифференциального уравнения имеет различный вид в зависимости от значений корней:

1. n < k – случай малого вязкого сопротивления: -

корни комплексные, различные.

В этом случае решение имеет вид

или

То есть имеют место затухающие колебания.

Частота колебаний:

93

.

Период

Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени.

2. n > k – случай большого вязкого сопротивления:

- корни действительные, различные Решение имеет вид или Это функции апериодические

3. n = k : - корни действительные, кратные.

Решение . Эти функции также апериодические:

Типичный вид графиков решений в случаях 2 и 3

94

Случай равенства частот собственных колебаний и вынужденных колебаний.

+При частоте возмущающей силы, близкой к частоте свободных колебаний точки ( ), наступает явление, называемое биениями.

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынужденных и свободных колебаний точки (p = k).

https://studfile.net/preview/9531970/page:2/

Резонанс.

Явление совпадения частот возмущающей силы и собственных колебаний называется резонансом.

Рассмотрим движение точки в том случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, т.е. при p = k

95

23. Понятие механической системы. Масса системы. Внутренние и внешние силы. Свойства внутренних сил механической системы. Центр масс механической системы. Момент инерции. Примеры расчета момента инерции для стержня и обруча. Теорема о движении центра масс системы, следствия из теоремы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра и неподвижной оси. Закон сохранения кинетического момента. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Теорема об изменении количества движения системы. Закон сохранения количества движения системы. Теорема об изменении кинетической энергии системы. Случай,

когда система является абсолютно твердым телом.

Понятие механической системы.

Механической системой или системой материальных точек называют совокупность взаимодействующих между собой материальных точек

Масса системы.

Внутренние и внешние силы.

96

Свойства внутренних сил механической системы.

Центр масс механической системы.

97

Момент инерции.

98

99

111111111111111111111111111111111111111111111111111

Момент инерции материальной точки механической системы относительно какой-либо оси равен произведению массы этой точки на квадрат её расстояния до этой оси (рис. 12.10).

+Вводятся также три центробежных момента инерции, определяемые формулами:

; ; (12.11)

Совокупность трёх осевых моментов инерции (12.10) и трёх центробежных моментов инерции (12.11) определяют инерционные свойства механической системы.

Для абсолютно твёрдых тел суммы в формулах (12.10) и (12.11) перейдут в интегралы:

100