4. Мгновенный центр ускорений (м.Ц.У)

Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. М.Ц.У принято обозначать буквой Q.

Покажем, что если плоская фигура (рис. 2.30) не движется поступательно, то такая точка существует в каждый момент времени и ее положение легко определить (зная ускорение какой-либо точки и величины  и ) следующим образом:

из выражения определим угол  ;

Рис. 2.30. К определению положения мгновенного центра ускорений

от точки А под углом  к вектору проведем отрезок AQ. При этом отрезок AQ должен быть отклонен от вектора ускорения в сторону направления углового ускорения . Длина отрезка AQ определяется равенством:

. (2.44)

Найденная таким образом точка Q и будет являться мгновенным центром ускорений. Действительно, по формуле распределения ускорений, имеем

, где .

Подставляя сюда AQ из (2.44), находим, что W_QA = W_A . Кроме того, вектор должен образовывать с линией AQ угол и, следовательно, вектор параллелен , но направлен в противоположную сторону. Поэтому

и . Если теперь за полюс выбрать точку Q , то ускорение произвольной точки М, согласно (2.43) будет равно:

, ,

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в каждый данный момент времени так, как если бы движение плоской фигуры было вращением вокруг мгновенного центра ускорений Q (рис. 2.31). При этом ускорения точек плоской фигуры будут пропорциональны их расстояниям от М.Ц.У.

.

Рис. 2.31. Определение ускорений с помощью М.Ц.У.

Пример 2. Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости чертежа. Ускорения вершин А и В равны в данный момент времени 16 см/с² и направлены по сторонам треугольника. Определить ускорение третьей вершины С треугольника.

Решение. Определим ускорение точки С используя понятие мгновенного центра ускорений. Для определения его положения необходимо знать угол между вектором Цщш и отрезком АВ. (см. рис 2.30). Очевидно, что в нашем случае этот угол равен 30º. Положение мгновенного центра ускорений Q определим как точку пересечения двух прямых, проведенных под углом  к векторам Цш и Цщ. Так как расстояния вершин треугольника от точки Q одинаковы, ЦЪ=16 см/с² . Направление этого вектора показано на рисунке.

Лекция 15

1. Сложное движение точки.

2. Определение скоростей и ускорений точки в сложном движении.

1. Во многих задачах механики удобно считать, что движение точки относительно основной (условно неподвижной) системы отсчета состоит из нескольких более простых движений. Для этого вводят в рассмотрение вторую (подвижную) систему отсчета, движущуюся относительно основной. Теперь движение точки относительно неподвижной системы можно рассматривать как сумму одновременно происходящих двух движений: движения относительно подвижной системы отсчета и движения точки вместе с подвижной системой относительно неподвижной. Так, например, можно считать, что движение человека, идущего по эскалатору метро, по отношению к неподвижной стене туннеля (относительно неподвижной системы отсчета) состоит из двух движений, а именно из движения человека относительно движущегося эскалатора (относительно подвижной системы координат) и его движения вместе с эскалатором относительно неподвижной стены. Аналогичным образом могут быть представлены движения человека, плывущего по реке, по отношению к неподвижному берегу, движение поднимаемого мостовым краном груза при одновременном перемещении кран балки, движение снаряда в канале ствола зенитного орудия при одновременном вращении ствола в процессе слежения за целью и т.п.

Такое движение точки, рассматриваемое одновременно в неподвижной и в подвижной системах отсчета, называется сложным или составным. При этом движение точки относительно основной (неподвижной) системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называется абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются и соответственно. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным, а скорость и ускорение в этом движении - относительной скоростью и относительным ускорением .

Движение подвижной системы отсчета относительно неподвижной называется переносным движением. Скорость и ускорение той, неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка, называется переносной скоростью и переносным ускорением . Так, в случае движения человека, идущего по эскалатору, переносной скоростью человека будет скорость ступеньки, на которой он в данный момент находится.

2. Пусть в некоторый момент времени t точка М занимает положение, указанное на рисунке 2.32. Ее относительная траектория - кривая АВ , неизменно связанная с подвижной системой координат (на рисунке не показана).

Рис. 2.32. К выводу формул сложения скоростей и ускорений

Найдем абсолютное перемещение точки М за малый промежуток времени t = t₁ - t . Точка М, двигаясь по кривой АВ (относительное движение), совершает за промежуток времени t относительное перемещение ММ" . В это же самое время сама кривая АВ перемещаясь с подвижными осями (переносное движение) займет положение А₂В₂. В результате этих двух перемещений точка М займет положение М₁, относительно основной неподвижной системы отсчета 0xyz, совершив за время t абсолютное перемещение ММ₁. Переносное движение относительной траектории, в свою очередь, можно считать состоящей из поступательной части (перемещение АВ в положение А₁В₁) и вращательной части (перемещение А₁В₁ в положение А₂В₂ вращением вокруг точки М' с мгновенной угловой скоростью ). Из рисунка видно, что если бы кривая АВ двигалась только поступательно, то она за время t пришла бы в положение А₁В₁, а точка М - в положение М". Появление перемещения М"M₁, следовательно, обусловлено вращательной частью переносного движения кривой АВ. Из рисунка видно, что абсолютное перемещение точки М за время t можно выразить следующим векторным равенством:

. (2.45)

Известно, что перемещение точки, разлагая его в ряд по степеням малой величины t, можно представить в виде

. (2.46)

где и - скорость и ускорение точки в момент времени t .

На основании (2.46) абсолютное, относительное и переносное перемещение в (2.45) можно представить в виде :

(2.47)

(2.48)

(2.49)

где , , , , , - абсолютные, относительные и переносные скорости и ускорения точки М.

Вектор представляет собой перемещение конца радиуса-вектора M'M" при его вращении вместе с кривой A₁B₁ вокруг точки М'. Скорость точки M" в этом вращении определяется формулой Эйлера:

. (2.50)

Принимая во внимание равенства (2.48) и (2.50) вектор M"M₁ можно представить в виде:

(2.51)

С учетом равенств (2.47) - (2.49) и (2.51) выражение (2.45) можно переписать в виде:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях последнего равенства, находим:

, (2.52)

, (2.53)

где вектор называется ускорением Кориолиса. (2.54)

Формулу (2.52) называют формулой сложения скоростей точки в сложном движении. Согласно этой формуле, абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее относительной и переносной скоростей. Формулу (2.53) называют формулой сложения ускорений. Согласно (2.53), абсолютное ускорение точки в сложном движении равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, переносного и ускорения Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса согласно (2.54) равен:

. (2.55)

Очевидно, что данное ускорение равно нулю:

- в случае поступательного переносного движения ( _e = 0 );

- когда векторы и параллельны ( тогда );

- в отдельные моменты времени, когда относительная скорость меняет свое направление на противоположное и точка (в относительном движении) должна на мгновение остановиться . Направление ускорения Кориолиса определяется по правилу определения направления векторного произведения. Согласно (2.54) вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы и , в ту сторону, откуда поворот от вектора к вектору на наименьший угол виден происходящим против хода часовой стрелки.

Пример 1. Точка М движется с постоянной скоростью V=1 м/с от начала координат внутри трубки, вращающейся в плоскости x0y с постоянной угловой скоростью Я = 2с^-1. Определить величину абсолютного ускорения точки М в момент, когда расстояние ОМ = 0,5 м.

Решение. В данной задаче движение точки М внутри трубки - относительное, вращение вместе с трубкой - переносное. Так как относительная скорость по условию задачи постоянна, то и, согласно (2.53), . Поскольку в переносном движении точка М вращается по окружности радиуса ОМ с постоянной угловой скоростью Я, переносное ускорение равно и направлено к центру вращения. Модуль ускорения Кориолиса равен 4 м/с², а его направление, определяемое векторным произведением (2.54), показано на рисунке. Так как переносное и кориолисово ускорения направлены под углом 90° по отношению друг к другу, 4,47 м/с².

Пример 2. Кольцо радиуса r = 0,5м вращается с постоянной угловой скоростью Я = 4 рад/с в плоскости чертежа. По кольцу движется точка М с постоянной скоростью V = 2м/с. Определить величину абсолютного ускорения точки М в указанном на чертеже положении.

Решение. В данной задаче движение точки М по кольцу - относительное, вращение вместе с кольцом - переносное. Для определения абсолютного ускорения воспользуемся формулой сложения ускорений:

.

Для изучения относительного движения отвлечемся от переносного т.е. пусть кольцо не вращается, а точка М движется по кольцу с постоянной скорость V=2 м/с. Найденное в этом движении ускорение и будет относительным: . Данное ускорение будет направлено к центру кольца, так как точка в относительном движении движется равномерно. Для определения переносного ускорения отвлечемся от относительного движения точки: точка зафиксирована в положении, указанном на рисунке и лишь вращается вместе с кольцом с постоянной угловой скоростью по окружности радиусом ОМ=2R вокруг точки 0. Найденное в этом движении ускорение и будет переносным: 16м/с². Его направление показано на рисунке и обусловлено равномерной скоростью вращения. Модуль ускорения Кориолиса вычисляем по формуле (2.55):

= (учитываем, что вектор направлен вдоль оси вращения кольца и перпендикулярен вектору ). Направление вектора ,определяемого правилом векторного умножения (2.54), показано на рисунке. Складывая найденные ускорения, определяем