
теормех / шпоры термех 1 курс
.doc1
Кинематика – раздел механики, в котором изучаются движение материальных тел с геометрической точки зрения, без учета массы и действующих на них сил. Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный. Траектория точки – непрерывная кривая, которую описывает точка при своем движении. Естественный сп. указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: s=f(t) – закон движения точки. При прямолинейном движении: х=f(t). Координатный сп. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).
Е
сли
движение в плоскости, то два уравнения
движения. Уравнения движения описывают
уравнение траектории в параметрической
форме. Исключив из уравнений параметр
t,
получаем уравнение траектории в обычном
виде: f(x,y)=0
(для плоск-ти). Векторный
сп.
положение точки определяется ее
радиус-вектором
,
проведенным из какого-либо центра. Связь
между координатным и векторным способами:
,
модуль
.
Скорость
точки.
Вектор ск-сти:
– первая производная от радиус-вектора
по времени ;
.
Проекции скорости:
,
,
.
Модуль скорости:
,
направляющие косинусы:
и т.д. Если модуль скорости не изменяется
с течением времени, то движение называется
равномерным. При естественном сп.:
– модуль скорости, вектор скорости:
,
–
орт касательной, т.е. скорость
всегда направлена по касательной к
траектории.
Если v>0,
то движение происходит в сторону
положительного отсчета дуговой координаты
и наоборот. Движение в полярной системе
координат: r=r(t)
– полярный радиус, =(t)
2
У
скорение
точки.
,
[м/сек2].
Проекции уск.-я:
и т.д. Модуль уск.-я:
.
При естественным сп. задания движения
полное ускорение раскладывают на
нормальное и касательное (тангенциальное)
ускорения:
.
Модуль нормального ускорения:
,
– радиус кривизны траектории, нормальное
ускорение направлено по нормали к
траектории (
к касательной) всегда
к центру кривизны, т.е. в сторону
вогнутости. Нормальное ускорение
характеризует изменение скорости по
направлению. Модуль касательного
ускорения
,
направлено по касательной к траектории,
либо в сторону скорости, либо в обратную.
Касательное ускорение характеризует
изменение скорости по величине. При
ускоренном движ-ии направление касат.
уск. и скорости совпадают, при замедленном
– противоположно.
,
..
3
П
ростейшие
движения твердого тела: поступательное
и вращение вокруг неподвижной оси.
Поступательное
движение
тела – такое движение твердого тела,
при котором любая прямая, проведенная
в этом теле, перемещается, оставаясь
параллельное самой себе. При поступат.
движ. все точки тела описывают одинаковые
траектории и имеют в каждый момент
времени одинаковые по модулю и направлению
скорости и ускорения. Вращательное
движение
тела – такое движение твердого тела,
при котором все точки, принадлежащие
некоторой прямой, неизменно связанной
с телом, остаются неподвижными. Эта
прямая называется осью вращения тела.
При этом движении все точки тела движутся
в плоскостях, перпендикулярных оси
вращения, и описывают окружности, центры
которых лежат на оси вращения. Урав-ние
(закон) вращательного движ.: =f(t)
– угол поворота тела в радианах.
Угловая
ск-сть:
,
[рад/с] – определяет быстроту изменения
угла поворота.
В
ектор
угловой скорости тела, совершающего
вращение вокруг неподвижной оси,
направлен вдоль оси вращения так, что
если смотреть ему навстречу вращение
будет против час. стрелки. Угловое
ускорение тела:
,
[рад/с2].
Вектор углового ускорения также направлен
вдоль оси вращения. При ускоренном
движении совпадает по направлению с
угловой скоростью и противоположно при
замедленном вращении.
Равнопеременное
вращение: =0+t;
,
здесь начальный угол 0=0.
Скорости
и ускорения точек вращающегося тела.
– скорость любой точки твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси,
равна векторному произведению вектора
угловой скорости тела на радиус–вектор
этой точки. Модуль векторного произведения:
v=rsin().
Направлен вектор скорости по касательной
к окружности, по которой перемещается
точка М, в сторону вращения.
Вращательное
ускорение
,
модуль вращат. уск. авр=rsin,
направлено по касательной к траектории
точки, т.е. параллельно скорости.
Центростремительное (осестремительное)
ускорение
,
ац=2R,
направлено по радиусу к оси (центру)
вращения. Модуль полного уск.:
.
4
Плоское движение твердого тела.
П
лоским
(плоскопараллельным) назыв. такое
движение, при котором все его точки
перемещаются параллельно некоторой
неподвижной плоскости. Уравнения
плоского движения:
xA=
f1(t),
yA=
f2(t),
= f3(t),
точка А назыв. полюсом. Плоское движение
тв.тела слагается из поступательного
движения, при котором все точки тела
движутся так же, как полюс (А),и из
вращательного движения вокруг этого
полюса. Поступательное перемещение
зависит от выбора полюса, а величина и
направление угла поворота не зависят.
Скорости
точек тела при плоском движении:
;
,
vBA=
BA,
т.е. скорость какой-либо точки В плоской
фигуры равна геометрической сумме
скорости полюса А и скорости точки В
при вращении плоской фигуры вокруг
полюса А. Теорема: при плоском движении
проекции скоростей двух точек тела на
ось, проходящую через эти точки, равны
между собой: vAcos
= vBcos.
Мгновенный
центр скоростей
– точка плоской фигуры, скорость которой
в данный момент равна нулю – Р. Если
тело движется непоступательно, т.е. 0,
то мгн.цент.ск. всегда существует.
– скорость любой точки плоской фигуры
имеет модуль, равный произведению
угловой скорости фигуры на длину отрезка,
соединяющего точку с м.ц.с., и направлена
этому отрезку в сторону вращения фигуры.
,
скорости точек тела пропорциональны
их расстояниям до м.ц.с.
,
угловая скорость тела равна отношению
скорости какой-нибудь точки к ее
расстоянию до м.ц.с. Определение положения
м.ц.с.: 1) м.ц.с. – точка пересечения
перпендикуляров, восстановленных к
скоростям точек (напр. в точке В и точке
К); 2) если скорости точек А и В параллельны
между собой и перпендикулярны АВ, то
для определения м.ц.с. должны быть
известны модули и направления скоростей
(см. vA
и vB);
3) если они при этом равны между собой,
то м.ц.с. находится в ,
а угловая скорость =vA/=0;
4) если известно, что скорости двух точек
А и В равны, параллельны и не
перпендикулярны АВ, то м.ц.с. в ,
и угловая скорость =vA/=0,
если это имеет место только к некоторый
момент времени, то имеем мгновенное
поступательное движение; 5) если плоская
фигура катится без скольжения по
неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской
фигуры будет в точке соприкасания.
5
Ускорения
точек:
,
–
ускорение
любой точки (В) фигуры геометрически
складывается из ускорения полюса (А) и
центростремительного и вращательного
ускорений во вращательном движении
тела относительно полюса.
,
,
,
.
Мгновенный
центр ускорений
– точка (Q)
плоской фигуры, ускорение которой в
данный момент времени равно нулю. Для
его построения из точки А откладываем
под углом
к ускорению аА
отрезок
,
при этом угол откладывается от ускорения
в сторону, направления углового ускорения
.
Модули ускорений точек плоской фигуры
пропорциональны расстояниям от этих
точек до мгн.ц. ускорений, а векторы
ускорений составляют с отрезками,
соединяющими эти точки и м.ц.у. один и
тот же угол
:
.
Мгновенный центр скоростей Р и мгновенный
центр ускорений Q
являются различными точками плоской
фигуры.
6
Сложное
движение точки (тела)
– такое движение, при котором точка
(тело) одновременно участвует в нескольких
движениях (напр. пассажир, перемещающийся
по движущемуся вагону). В этом случае
вводится подвижная система координат
(Oxyz),
которая совершает заданное движение
относительно неподвижной (основной)
системы координат (O1x1y1z1).
Абсолютным
движением
точки назыв. движение по отношению к
неподвижной системе координат.
Относительное
движение
– движение по отношению к подвижной
системе коорд. (движение по вагону).
Переносное
движение
– движение подвижной сист. координат
относительно неподвижной (движение
вагона). Теорема
о сложении скоростей:
,
;
-орты
(единичные вектора) подвижной системы
координат, орт вращается вокруг мгновенной
оси, поэтому скорость его конца
и т.д., :
,
;
–
относительная скорость.
;
переносная скорость:
,
поэтому абсолютная скорость точки =
геометрической сумме ее переносной
(ve)
и относительной (vr)
скоростей
,
модуль:
.
Теорема
о сложении ускорений (теорема Кориолиса):
и
т.д. Слагаемые выражения, определяющего
ускорения
:
1)
–
ускорение полюса О;
2)
3)
–
относительное ускорение точки;
4)
,
получаем:
.
П
ервые
три слагаемых представляют собой
ускорение точки в переносном движении:
–
ускорение полюса О;
– вращательное уск.,
– осестремительное уск., т.е.
.
Теорема
о сложении ускорений (теорема Кориолиса):
,
где
– ускорение Кориолиса (кориолисово
ускорение) – в случае непоступательного
переносного движения абсолютное
ускорение = геометрической сумме
переносного, относительного и кориолисова
ускорений. Кориолисово ускорение
характеризует: 1) изменение модуля и
направления переносной скорости точки
из-за ее относительного движения; 2)
изменение направления относительной
скорости точки из-за вращательного
переносного движения. Модуль ускорения
Кориолиса: ас=
2|evr|sin(e^vr),
направление вектора
определяется
по правилу векторного произведения,
или по правилу Жуковского: проекцию
относительной скорости на плоскость,
перпендикулярную переносной угловой
скорости, надо повернуть на 90о
в направлении вращения.
Кориолисово уск. = 0 в трех случаях: 1) e=0, т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угл. скорости в 0; 2) vr=0; 3) sin(e^vr)=0, т.е. (e^vr)=0, когда относительная скорость vr параллельна оси переносного вращения. В случае движения в одной плоскости – угол между vr и вектором e = 90о, sin90o=1, ас=2evr.
7
Статика – раздел теор.мех., в котором рассмат-ся задачи на равновесие систем сил.
Сила
–
мера механического взаимодействия тел.
Сила векторная величина, характеризуется
тремя элементами: числовым значением
(модулем), направлением и точкой
приложения. Ед.измерения – ньютон,
,
1кН (килоньютон)= 103Н.
Прямая, по которой направлена сила, назыв. линией действия силы.
Аксиомы
(законы) статики:
1) аксиома инерции: Под действием взаимно
уравновешивающихся сил материальная
точка (тело) находится в состоянии покоя
или движется прямолинейно и равномерно.
2) аксиома равновесия двух сил: Две силы,
приложенные к абсолютно твердому телу,
будут уравновешены тогда и только тогда,
когда они равны по модулю, действуют по
одной прямой и направлены в противоположные
стороны. 3) аксиома присоединения и
исключения уравновешивающихся сил:
Действие системы сил на абс. твердое
тело не изменится, если к ней прибавить
или отнять уравновешенную систему сил.
Следствие: Действие силы на абс.тв. тело
не изменится, если перенести точку
приложения силы вдоль ее линии действия.
Т.е. сила, приложенная к абс.тв. телу–
скользящий вектор. 4) аксиома параллелограмма
сил: Равнодействующая двух пересекающихся
сил приложена в точке их пересечения и
изображается диагональю параллелограмма,
построенного на этих силах.
;
.
5) аксиома равенства действия и
противодействия (3-й закон Ньютона):
Всякому действию соответствует равное
и противоположно направленное
противодействие. 6) принцип отвердевания:
Равновесие сил, приложенных к нетвердому
телу, не нарушается при его затвердевании.
Т
ело
называется свободным,
если его перемещения ничем не ограничены.
Тело, перемещение которого ограничено
другими телами, назыв. несвободным.
Тела, ограничивающие перемещения данного
тела, назыв. связями.
Силы, с которыми связи действуют на
данное тело, назыв. реакциями
связей.
Принцип
освобождаемости:
Всякое несвободное тело можно рассматривать
как свободное, если действие связей
заменить их реакциями, приложенными к
телу. Основные
типы связей:
а) опора на идеально гладкую поверхность
– реакция поверхности направлена по
нормали к ней, т.е. перпендикулярно
касательной – нормальная реакция; б)
одна из соприкасающихся поверхностей
является точкой (угол), реакция направлена
по нормали к другой поверхности; в) нить
– реакция направлена вдоль нити к точке
подвеса; г) цилиндрический шарнир
(шарнирно-неподвижная опора) – реакция
может иметь любое направление в плоскости.
При решении задач заменяется двумя
взаимно перпендикулярными составляющими;
д) цилиндрическая шарнирно-подвижная
опора (шарнир на катках) – реакция
направлена перпендикулярно опорной
плоскости; е) сферический (шаровой)
шарнир – реакция может иметь любое
направление в пространстве. При решении
задач заменяется тремя взаимно
перпендикулярными составляющими; ж)
невесомый стержень (обязательно
невесомый) – реакция направлена вдоль
стержня; з) "глухая" заделка
(вмурованная балка) – возникает
произвольно направленная реакция –
сила и реактивный момент, также неизвестный
по направлению. Реакция раскладывается
на две составляющие.
С
истема
сходящихся сил.
Сходящимися называются силы, линии
действия которых пересекаются в одной
точке. Равнодействующая
сходящихся сил
равна геометрической сумме этих сил и
приложена в точке их пересечения
.
Равнодействующая может быть найдена
геометрич. способом – построением
силового (векторного) многоугольника
или аналитич. способом, проектируя силы
на оси координат. Проекции
силы на оси координат
(для плоской сист.): Fx=Fcos;
Fy=Fcos=Fsin;
проекция >0, если направление составляющей
силы совпадает с направл. оси. Модуль
силы:
;
направляющие
косинусы:
разложение силы на составляющие:
,
где
– орт
(единичный вектор) соответствующей оси.
Д
ля
пространственной системы:
,
Fx=Fcos;
Fy=Fcos;
Fz=Fcos;
;
.
Проекции
равнодействующей системы сходящихся
сил на координатные оси равна алгебраическим
суммам проекций этих сил на соответствующие
оси: Rx=Fix;
Ry=Fiy;
Rz=Fiz;
.
8
Условия
равновесия сист. сходящихся сил:
геометрическое:
аналитические: Fix=0; Fiy=0; Fiz=0. Теорема о трех непараллельных силах: Если под действием трех сил тело находится в равновесии и линии действия двух сил пересекаются, то все силы лежат в одной плоскости и их линии действия пересекаются в одной точке.
Теория пар сил. Сложение двух параллельных сил: равнодейст-ющая двух парал-ых сил F1 и F2 одного направления имеет такое же направление, ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил, а точка приложения делит отрезок между точками приложения сил на части обратно пропорциональные модулям сил: R=F1 + F2; АС/ВС=F2/F1. Равнодействующая двух противоположно направленных паралл-ных сил имеет направление силы большей по модулю и модуль, равный разности модулей сил.
Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, назыв. парой сил. Кратчайшее расстояние между линиями действия этих сил назыв. плечом пары "h". Действия пары сил характеризуется ее моментом. Момент пары сил M = Fh – произведение модуля одной из сил пары на ее плечо.
Момент
пары сил
– вектор, направленный перпендикулярно
плоскости сил, так, что, если смотреть
ему навстречу, то видим вращение пары
против хода час.стр. M>0,
если против час.стр., M<0
– по час.стр (на рис М>0).
Теоремы
о парах.
1) Две пары, лежащие в одной плоскости,
можно заменить одной парой, лежащей в
той же плоскости, с моментом, равным
сумме моментов данных двух пар.
.
2) Две пары, имеющие геометрически равные
моменты, эквиваленты. 3) Не нарушая
состояния твердого тела, пару сил можно
переносить в плоскости ее действия.
Т.е. момент пары сил является свободным
вектором. 4) Система нескольких пар сил
эквивалента одной паре, момент которой
равен векторной сумме моментов данных
пар. Т.е. система пар приводится к одной
паре, момент которой равен сумме моментов
всех пар. Условие равновесия пар сил:
– геометрическая сумма их моментов
равна 0. Пары сил, расположенные в одной
плоскости, взаимно уравновеш-тся, если
алгебраическая сумма их моментов Мi=0.
Момент
силы относительно точки
– вектор, численно равный произведению
модуля силы на плечо и направленный
перпендикулярно плоскости, содержащей
силу и точку, в такую сторону, чтобы
смотря ему навстречу, видеть силу
стремящейся повернуться против хода
час.стрелки. Плечо "h"–
кратчайшее расстояние от точки до линии
действия силы.
– момент силы равен векторному
произведению вектора
на вектор
.
Модуль векторного произведения:
RFsin=
Fh.
Для плоской сист. сил обычно находят не
вектор момента, а только его модуль:
Fh,
>0 – против час.стр.; <0 – по час.стр.
Свойства момента силы: 1) момент силы не
изменяется при переносе точки приложения
силы вдоль ее линии действия; 2) момент
силы относит. точки =0 только тогда, когда
сила =0 или когда линия действия силы
проходит через точку (т.е. плечо =0). Если
x,y,z
– координаты точки приложения силы,
Fx,
Fy,
Fz
– проекции силы на оси координат и точка
0 – начало координат, то
=(yFz
– zFy)
+(zFx
– xFz)
+(xFy
– yFx)
,
откуда проекции момента силы на оси
коорд.: М0x(
)=yFz
– zFy;
М0y(
)=zFx
– xFz;
М0z(
)=xFy
– yFx.