ответы / ОТВЕТЫ СОПРОМАТ new

Изменения геометрических характеристик при параллельном переносе осей координат. Изменения моментов инерции при повороте осей координат

41

42

43

Главные оси и главные моменты инерции

существует такое значение угла поворота осей 0 , при котором величины осевых моментов инерции достигают экстремальных значений. Это значит, что осевой момент инерции относительно одной из осей достигает своего максимального значения, а относительно другой оси момент инерции принимает минимальное значение. Экстремальные значения осевых моментов инерции называются главными моментами инерции. Значения этих величин определяются по формулам:

Положив в этом уравнении 0 , находим (I y I x )sin2 0 2I xy cos2 0 0 Из этого уравнения следует, что

Оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями. Главные оси фигуры взаимно перпендикулярны. Главные оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются главными центральными осями. Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей инерции фигуры

44

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ. Напряженное состояние в точке. Компоненты напряжения. Виды напряженных состояний. Плоское напряженное состояние. Закон парности касательных напряжений.

Напряжения на наклонных площадках. Главные напряжения. Максимальные касательные напряжения. Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге. Деформированное состояние в точке. Компоненты деформации. Обобщенный закон Гука. Потенциальная энергия деформации.

Напряженное состояние в точке

45

Компоненты напряжения

К каждой из граней параллелепипеда, как известно из 2.5 приложено какое-то полное напряжение (в центре тяжести этой грани), вектор которого можно разложить на три составляющих (их еще называют – компоненты напряжений): нормальное и

два касательных .

46

На рисунке пунктиром показаны вектора компонент напряжений, приложенные к невидимым граням.

Обозначения векторов напряжений будем осуществлять в соответствии с правилами, принятыми в теории упругости.

Нормальным напряжениям присваиваем индексы в соответствии с осями, которым они параллельны: х , у , z . Касательные напряжения : первый индекс – соответствует оси, которой параллелен вектор этого напряжения, т.е. направлению оси, параллельно которой оно действует; второй индекс – соответствует оси, которая перпендикулярна площадке (соответствует индексу при ), т.е. направлению нормали к площадке, где оно действует. Знаки напряжений также определяем в соответствии с традиционными подходами теории упругости. На рис. 6.2 по видимым граням приложены положительные по направлению напряжения:

нормальные напряжения – направление вектора совпадает с направлением координатной оси, напряжению присваиваем знак ; касательные напряжения – на площадке, где вектор нормального напряжения имеет положительное направление (т.е. его направление совпадает с направлением соответствующей координатной оси), направление вектора касательного напряжения положительно, когда оно также совпадает по направлению с соответствующей координатной осью. На параллельных гранях из условия равновесия напряжения равны попарно. Поэтому количество неизвестных напряжений 9: 3 – и 6 – .

47

………………………………………………………………………………………………

Тензор напряжений

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σxxyxz

48

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют систему напряжений, описываемую специальной матрицей –

тензором напряжений

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках, нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно.

При повороте осей координат, совпадающих с нормалями к граням выделенного элемента, компоненты напряжений изменяются. Вращая выделенный элемент

вокруг осей координат, можно найти такое положение элемента, при котором все касательные напряжения на гранях элемента равны нулю.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной площадкой.

Нормальное напряжение на главной площадке называется главным напряжением Нормаль к главной площадке называется главной осью напряжений .

В каждой точке можно провести три взаимно-перпендикулярных главных площадки.

При повороте осей координат изменяются компоненты напряжений, но не меняется напряженно-деформированное состояние тела (НДС).

Виды напряженных состояний

49

50