ответы / ОТВЕТЫ СОПРОМАТ new

1

5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАПРЯЖЕННОГО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ.

Напряженное состояние в точке. Компоненты напряжения. Виды напряженных состояний. Плоское напряженное состояние. Закон парности касательных напряжений.

6. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ. Основные понятия. Первая, вторая и третья теории прочности. Четвертая (энергетическая) теория прочности. Теория прочности Мора...65

2

3

1. ВВЕДЕНИЕ Курс сопротивления материалов. Прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций. Основные гипотезы, принимаемые в курсе сопротивления материалов. Реальный объект и расчетная схема. Схематизация элементов конструкций (стержень, пластина, оболочка, массивное тело). Виды внешних сил. Объемные и поверхностные нагрузки. Виды опор. Опорные реакции. Уравнения статики.

Курс сопротивления материалов

Сопротивление материалов является одним из разделов науки о прочности, в котором излагаются закономерности деформирования и разрушения тел, основанные на теоретических исследованиях и данных экспериментов.

Прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций

Прочность – это свойство конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость – свойство конструкции сопротивляться деформированию. Конструкция считается жесткой, если при действии внешних сил изменения ее размеров и формы сравнительно малы.

Устойчивость – свойство системы сохранять свое начальное равновесное положение при малых внешних воздействиях, не учитываемых в расчете.

Основные гипотезы, принимаемые в курсе сопротивления материалов

Деформацией называется изменение взаимного расположения частиц тела, вызывающее изменение его размеров и формы. Если си-лы, вызывающие деформацию, постепенно уменьшать и затем полно-стью снять, то тело будет стремиться приобрести свою первоначаль-ную форму. Деформации полностью или частично исчезнут.

Свойство тел деформироваться под нагрузкой и затем после устранения сил восстанавливать свою первоначальную форму, назы-вается упругостью. Часть деформации, которая исчезает после снятия нагрузки, называется упругой деформацией, а та часть, которая остает-ся, называется остаточной деформацией. Возникновение остаточной деформации связано с так называемой пластичностью тела. Если де-формации после снятия нагрузки полностью исчезли, то тело называ-ют абсолютно упругим.

4

У некоторых материалов упругие свойства одинаковы во всех направлениях. Такие тела называются изотропными. Анизотропным называется тело, у которого упругие свойства различны в разных направлениях.

Если деформации являются упруги-ми, то используется принцип независимости действия сил (принцип суперпозиции). В соответствии с этим принципом – результат сов-местного действия нескольких сил равен сумме результатов от дей-ствия каждой из сил в отдельности.

Полагается, что возникающие в теле деформации и перемещения являются малыми. Кроме того, принимаются предположения, позво-ляющие значительно упростить расчеты:

принцип Сен-Венана (принцип локальности) – на достаточном удалении от места приложения силы, особенности способа приложе-ния этой силы можно не учитывать;

гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений) – поперечные се-чения стержня, плоские и нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и после деформации.

Реальный объект и расчетная схема

Расчетная схема – это упрощенное изображение реальной конструкции, которое освобождено от ее несущественных, второстепенных особенностей и которое принимается для математического описания и расчета.

Реальный объект – исследуемый элемент конструкции, взятый с учетом всех своих особенностей: геометрических, физических, механических и других.

Моделью конструкции принято называть вспомогательный объект, заменяющий реальную конструкцию, представленную в наиболее общем виде.

Схематизация элементов конструкций (стержень, пластина, оболочка, массивное тело)

Стержнем называется тело, длина которого значительно боль-ше его поперечных размеров. Геометрическое место точек, совпадающих с центрами тяжести поперечных сечений стержня, называется продольной осью.

5

Элемент конструкции, ограниченный с двух сторон плоскостями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими разм-рами, называется пластиной (рис. 1.1б). Элемент конструкции, ограниченный двумя поверхностями, отстоящими друг от друга на малом расстоянии, называется оболочкой (рис. 1.1в). Элемент конструкции, размеры которого во всех направлениях сравнимы по величине, называется массивом

(рис. 1.1г).

Виды внешних сил. Объемные и поверхностные нагрузки.

Внешние силы являются мерой взаимодействия рассматриваемого тела с окружающими телами и средой. Различают объемные и поверхностные силы. Объемные силы непрерывно распределены по всему объему тел. Отметим, что к поверхностным силам относятся вес тела, силы инерции, магнитные силы. Поверхностные силы действуют на поверхности тела.

Динамические нагрузки изменяются во времени быстро, при этом в деформируемой конструкции возникают силы инерции, которые необходимо учитывать при расчетах, так как они достигают значительных величин.

Статические нагрузки являются постоянными, либо медленно изменяют свою величину или точку приложения (направление).

Если размеры площадки, по которой происходит взаимодействие тел, малы по сравнению с размерами тела, то считается, что поверхностная сила прило-жена в точке и называется сосредоточенной.

Соприкосновение тел всегда происходит по некоторой площад-ке. Поэтому все поверхностные силы являются распределенными по площади.

Виды опор

шарнирно подвижные опоры. Поперечное сечение стержня в шарнирно подвижной опоре может смещаться параллельно опорной плоскости и поворачиваться, но не может смещаться перпендикулярно к опорной плоскости. Поэтому в шарнирно подвижной опоре возникает реакция опоры АR , направленная перпендикулярно к плоскости.

шарнирно неподвижная опора. Поперечное сечение стержня, проходящее через шарнирно неподвижную опору, не может смещаться поступательно. В опоре возникает сила реакции R (рис. 1.5). Ее составляющими являются вертикальная сила B

6

R , препятствующая вертикальному смещению, и горизонтальная сила B H, исключающая горизонтальное смещение закрепленного сечения бруса

Заделка (защемление), это такое закрепление стержня, при котором в месте крепления он не может перемещаться поступательно и поворачиваться.

Опорные реакции

Воздействие закрепляющего элемента на стержень можно заме-нить силой, которая называется реакцией опоры.

Реакция опоры или опорная реакция – это силовой фактор, возникающий в опоре, от действия на конструкцию внешней нагрузки. В опорах, как правило, возникают реактивные силы, которые для удобства ручного расчета раскладываются на две составляющие: вертикальную и горизонтальную проекции.

Уравнения статики

Сумма проекций всех сил на ось Y:

Здесь силы и нагрузки записаны в соответствии с правилом знаков для проекций сил.

Равнодействующая распределенной нагрузки определяется произведением ее интенсивности на длину.

Проекции сил на ось Z в данном случае равны нулю:

Сумма моментов всех нагрузок, например, относительно точки A:

7

2. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержней. Продольная сила. Построение эпюр продольных сил. Крутящий момент. Построение эпюр крутящих моментов. Плоский изгиб. Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы.

Дифференциальные зависимости при изгибе. Правила проверки правильности построения эпюр. Понятие о напряженном состоянии в точке. Полное, нормальное и касательное напряжения. Интегральная связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Понятие о деформированном состоянии в точке. Линейные и угловые деформации.

Метод сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии, рассекают мысленно на две части (рис. 1, а), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы1 и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению

Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержней.

Внутренние силовые факторы (усилия) возникают в результате деформации бруса, когда под действием внешних нагрузок происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела.

8

Продольная сила.

это внутренний силовой фактор, который возникает в поперечных сечениях элементов, работающих на центральное растяжение (сжатие)

N равна проекции главного вектора на ось x. Ее величину численно определяют как алгебраическую сумму проекций на эту ось всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к рассматриваемой части.

Построение эпюр продольных сил.

проводим прямую, параллельную продольной оси бруса (базовая линия). Значение нормальных сил откладывают в выбранном масштабе и с учетом знаков (положительные силы откладываем вправо от базовой линии, а отрицательные — влево) на уровне соответствующего участка.

Крутящий момент. Построение эпюр крутящих моментов.

Т и изгибающие моменты Mz и My – проекции главного момента на оси x, y, z – соответственно. Численно каждый из них равен алгебраической сумме моментов относительно соответствующей оси всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части.

Внутренние силы и моменты в разных сечениях стержня различны. Графики, показывающие изменение внутренних усилий вдоль оси стержня, называют эпюрами. При построении эпюр придерживаются следующих правил:

– ось (базу), на которой строится эпюра, выбирают так, чтобы она была параллельна оси стержня;

9

–ординаты эпюры с выбранным интервалом откладывают от оси по перпендикуляру в избранном масштабе, в характерных сечениях проставляют числа, показывающие величины силового фактора;

–в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.

Плоский изгиб.

изгиб, при котором все усилия, изгибаю-щие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы.

Эпюрами внутренних поперечных сил и изгибающих моментов называют графическое представление распределения функций Q и M по длине балки при изгибе.

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Для определения внутренних сил применяется метод сечений, который заключается в следующем. Находящееся в равновесии под действием системы внешних сил призматическое тело (рис. 1.7а) рассекается

(мысленно) плоскостью, перпендикулярной к продольной оси, на две части. Одна из частей отбрасывается и рассматривается равновесие оставшейся части. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется некоторыми распределенными по сечению силами. Как известно, система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Распределенные по сечению силы заменяются

Вводится ортогональная система координат, так чтобы ось Оz совпадала с продольной осью тела, а оси Оx и Оy – расположены в поперечном сечении. Главный вектор и главный момент раскладываются на составляющие, которые называются внутренними силами.

В общем случае в поперечном сечении будут действовать шесть сил: –N продольная сила (проекция вектора R направленная по оси Оz); , Оx, Оy – поперечные силы (проекции вектора R направленные по осям Оx, Оy); – T крутящий момент (проекция момента относительно оси Оz); , M x M y – изгибающие моменты (проекции момента M относительно осей Оx, Оy).

10