ответы / sm3

3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ

Растяжение и сжатие прямолинейного стержня.

Осевым растяжением (сжатием) стержня называется вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила N .

Величины внутренних сил находят с использованием метода сечений и принятого правила знаков.

Продольная сила N считается положительной, если она растягивает отсеченную часть стержня (рис. 2.1), т.е. направлена по направлению внешней нормали к сечению.

Графики, показывающие, как изменяются внутренние силы в направлении продольной оси стержня, называются эпюрами внутренних сил.

Напряжения в поперечных сечениях.

Гипотеза плоских сечений(Д.Бернулли):

П оперечные сечения стержня, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации. Так как продольные слои стержня деформируются одинаково, то и нормальные напряжения во всех точках поперечного сечения должны быть одинаковыми. Поэтому в любом поперечном сечении   const , получаем

Следовательно

 - равнодействующей напряжений. N - продольная сила, которая возникает в поперечных сечениях стержня.

Деформации при растяжении и сжатии.

Обозначим длину стержня через l, а высоту и ширину поперечного сечения b и a . На рис. 2.3 пунктирной линией показан стержень после растяжения.

Как показывают опыты, при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. Его длина станет равной l1 , высота и ширина сечения – b1 и a1 . При сжатии – наоборот, стержень становится короче, а поперечные размеры увеличиваются.

При растяжении стержня продольная деформация вычисляется по формуле:

Относительные поперечные деформации в направлении сторон с размерами b и a:

Коэффициент Пуассона.

Отношение относительной поперечной деформации  к относительной продольной деформации  , взятое по модулю, называется коэффициентом Пуассона:

Величина  является постоянной для изотропного материала и определяется экспериментально. Значения  для различных материалов изменяются в пределах 0    0,5

З акон Гука.

В пределах малых деформаций для многих материалов справедлив закон Гука:

Нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной продольной деформации

Коэффициент пропорциональности E в формуле (2.4) называется модулем упругости (модулем Юнга). Величина Е определяется экспериментально и является постоянной для изотропного материала.

Модуль упругости характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию.

Модуль упругости E и коэффициент Пуассона  являются основными характеристиками упругости изотропного материриала.

Испытание материалов на растяжение-сжатие.

Некоторые свойства материалов проявляются при испытаниях образцов из этих материалов на растяжение. На основе этих экспериментов определяются механические характеристики материалов, позволяющие оценить их прочностные и пластические свойства.

Для проведения опытов на растяжение используют специально изготовленные образцы (рис. 2.5), которые закрепляются в захватах машины и растягиваются вплоть до разрушения. При этом зависимость между растягивающей силой F и удлинением образца l записывается в виде графика (рис. 2.6), который называется машинной диаграммой растяжения материала.

Рассмотрим диаграмму растяжения образца из малоуглеродистой стали (рис. 2.7). На этой диаграмме отмечены точки А, В, С, D.

Т очке А соответствует напряжение п – предел пропорциональности. Пределом пропорциональности называется наибольшее напряжение, при котором деформация в материале прямо пропорциональна нагрузке:

В близи точки А, на криволинейном участке диаграммы, можно отметить точку В, соответствующую пределу упругости у . Пределом упругости называется наибольшее напряжение, при котором в материале возникает только упругая деформация:

Н ачиная от точки С, диаграмма имеет горизонтальный (или почти горизонтальный) участок, которому соответствует предел текучести т . На этом участке деформации растут без увеличения нагрузки. Пределом текучести называется напряжение, при котором деформация возрастает без заметного увеличения нагрузки:

Горизонтальный участок диаграммы CD называют площадкой текучести. Площадка текучести ярко выражена только для малоуглеродистых сталей. Ее возникновение связано с явлением текучести в материале. Точке Е на диаграмме соответствует напряжение в – предел прочности. Пределом прочности называется максимальное напряжение, при котором образец не разрушается:

До достижения предела прочности в продольные и поперечные деформации образца равномерно распределяются по его длине.

После достижения точки Е диаграммы, образец в основном деформируется в окрестности одного наиболее ослабленного сечения, где начинает образовываться шейка – значительное сужение образца. Образец до деформации и после образования шейки показан на рис. 2.8.

За точкой Е нагрузка снижается, что объясняется уменьшением поперечного сечения шейки. Разрыву образца на диаграмме соответствует точка S.

К прочностным характеристикам материала относятся предел пропорциональности п , предел упругости у , предел текучести т , предел прочности в (временный предел прочности).

Пластичность материала характеризуется относительным остаточным удлинением при разрыве  и относительным остаточным поперечным сужением при разрыве .

В зависимости от величин δ и , конструкционные материалы условно делятся на пластичные и хрупкие. Материал считается пластичным, если относительная остаточная деформация  больше 5 %.

Хрупкие материалы разрушаются без образования заметных остаточных деформаций. К ним относятся чугун, стекло, кирпич, строительные камни. Величина удлинения δ при разрыве не превышает 2… 5%.

Пластичные материалы при нагружении способны образовывать большие остаточные деформации. К ним относятся медь, латунь, алюминий.

Испытание материалов на сжатие.

Испытание металлов на сжатие проводят на коротких цилиндрических образцах.

На рис. 2.10 в первой четверти изображены диаграммы растяжения, а в третьей – сжатия. На начальном этапе нагружения диаграмма сжатия малоуглеродистой пластической стали Ст3, так же, как и диаграмма растяжения - наклонная прямая. Затем диаграмма переходит в криволинейный участок – участок текучести. При сжатии площадка текучести не получается такой же ярко выраженной, как при растяжении. Пределы пропорциональности, упругости и текучести для стали при сжатии такие же, как при растяжении. Углы наклона прямолинейных участков диаграммы (рис. 2.10) при растяжении и при сжатии одинаковы, значит, модуль упругости при сжатии такой же, как и при растяжении.

Условие прочности при растяжении-сжатии.

Условие прочности имеет вид:

З десь  – допускаемое напряжение, величина которого вычисляется по формуле:

где о – опасное (предельное) напряжение, определяемое экспериментально; n – коэффициент запаса прочности. Значение коэффициента n зависит от предназначения конструкции и условий ее эксплуатации.

Для пластичных материалов за предельное (опасное) напряжение о обычно принимается предел текучести т. Для хрупких, а в некоторых случаях и для умеренно пластичных материалов за о принимается предел прочности в.

Величина коэффициента запаса прочности n назначается с учетом многих факторов: используемая для расчетов теория, условия эксплуатации конструкции, наличие требований по безопасности объекта, принятые в отрасли промышленности.

Во многих случаях n = 1,4  3. Например, при проектировании машин и аппаратов химических производств, в ряде случаев полагают n = 1,5.

Потенциальная энергия деформации.

П отенциальная энергия деформации – это энергия, накопленная в теле при его деформировании под действием внешних сил.

П о закону Гука, при действии на стержень продольной силы F, возникает удлинение

И зменение силы на величину dF приводит к изменению удлинения на величину

При этом совершается элементарная работа

Суммируя элементарные работы, которые совершает сила при изменении от 0 до N, получаем

П о закону сохранения энергии, работа продольной силы W равна потенциальной энергии деформации Uо : W Uо.

Следовательно,

Удельной потенциальной энергией деформации U называется величина потенциальной энергии деформации, накопленной в единице объема тела.