ответы / Вар 17
.pdf
Вар 17
Тип балки:
Двухопорная балка консоль справа
Размеры:
L = 4 м;
L2 = 1 м;
Нагрузки:
q1 = 6 кН/м, z (1; 4);
F1 = 8 кН, z = 1 м;
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA(L - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi =
=- RA(L - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 + F1(L - L2 - c1) = - RA·(4 - 1) + 6·(4 - 1)·(2·4 -
2·1 - 1 - 4)/2 + 8·(4 - 1 - 1) =
=- RA·3 + 6·3·0.5 + 8·2 =
=- RA·3 + 25 = 0
RA = 25/3 = 8.33333 кН;
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB(L - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi)/2 - ∑Fici - ∑Mi =
=RB(L - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1)/2 - F1c1 = RB·(4 - 1) - 6·(4 - 1)·(1 + 4)/2 - 8·1 =
=RB·3 - 6·3·2.5 - 8·1 =
=RB·3 - 53 = 0
RB = 53/3 = 17.6667 кН;
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi =
=RA + RB - q1(b1 - a1) - F1 =
=8.33333 + 17.6667 - 6·(4 - 1) - 8 =
=8.33333 + 17.6667 - 18 - 8 = 0;
Методика построения эпюр
Построение эпюр
Составим аналитические выражения Q(z) и M(z) для каждого участка и вычислим их значения в характерных точках.
Участок I (0 ≤ z ≤ 1):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA =
= 8.33333;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = 8.33333 кН;
QI(1) = 8.33333 кН;
Изгибающий момент M:
MI(z) = RA z =
= 8.33333z;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = 8.33333·0 = 0;
MI(1) = 8.33333·1 = 8.33333 кНм;
Участок II (1 ≤ z ≤ 3):
Поперечная сила Q:
QII(z) = RA - q1(z - a1) - F1 = 8.33333 - 6(z - 1) - 8 =
= -6z + 6.33333;
Значения Q на краях отрезка:
QII(1) = -6·1 + 6.33333 = 0.33333 кН;
QII(3) = -6·3 + 6.33333 = -11.6667 кН;
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
QII(z) = -6z + 6.33333 = 0
z1 = 6.33333/6 = 1.05556 м;
Изгибающий момент M:
MII(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 - F1(z - c1) = 8.33333z - 6(z - 1)2/2 - 8(z - 1) = 8.33333z - 6(z2/2 - 1z + 0.5) -
8(z - 1) =
= -3z2 + 6.33333z + 5;
Значения M на краях отрезка:
MII(1) = -3·12 + 6.33333·1 + 5 = 8.33333 кНм; MII(3) = -3·32 + 6.33333·3 + 5 = -3 кНм;
Локальный экстремум в точке z1 = 1.05556 м:
MII(1.05556) = -3·1.055562 + 6.33333·1.05556 + 5 = 8.34259 кНм;
Участок III (3 ≤ z ≤ 4):
Поперечная сила Q:
QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) - F1 = 8.33333 + 17.6667 - 6(z - 1) - 8 =
= -6z + 24;
Значения Q на краях отрезка:
QIII(3) = -6·3 + 24 = 6 кН;
QIII(4) = -6·4 + 24 = 0;
Изгибающий момент M:
MIII(z) = RA z + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 - F1(z - c1) = 8.33333z + 17.6667(z - 4 + 1) - 6(z - 1)2/2 - 8(z - 1) = 8.33333z + 17.6667(z - 3) - 6(z2/2 - 1z + 0.5) - 8(z - 1) =
= -3z2 + 24z - 48;
Значения M на краях отрезка:
MIII(3) = -3·32 + 24·3 - 48 = -3 кНм; MIII(4) = -3·42 + 24·4 - 48 = 0;
Вар 18
Тип балки:
Двухопорная балка консоль справа
Размеры:
L = 4 м;
L2 = 1 м;
Нагрузки:
q1 = 6 кН/м, z (0; 2); q2 = 5 кН/м, z (3; 4);
M1 = -10 кНм, z = 4 м;
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA(L - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi =
=- RA(L - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 + q2(b2 - a2)(2L - 2L2 - a2 - b2)/2 - M1 = - RA·(4 -
1) + 6·(2 - 0)·(2·4 - 2·1 - 0 - 2)/2 + 5·(4 - 3)·(2·4 - 2·1 - 3 - 4)/2 + 10 =
=- RA·3 + 6·2·2 - 5·1·0.5 + 10 =
=- RA·3 + 31.5 = 0
RA = 31.5/3 = 10.5 кН;
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB(L - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi)/2 - ∑Fici - ∑Mi =
=RB(L - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1)/2 - q2(b2 - a2)(a2 + b2)/2 - M1 = RB·(4 - 1) - 6·(2 - 0)·(0 + 2)/2 -
5·(4 - 3)·(3 + 4)/2 + 10 =
=RB·3 - 6·2·1 - 5·1·3.5 + 10 =
=RB·3 - 19.5 = 0
RB = 19.5/3 = 6.5 кН;
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi =
=RA + RB - q1(b1 - a1) - q2(b2 - a2) =
=10.5 + 6.5 - 6·(2 - 0) - 5·(4 - 3) =
=10.5 + 6.5 - 12 - 5 = 0;
Участок I (0 ≤ z ≤ 2):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA - q1(z - a1) = 10.5 - 6(z - 0) =
= -6z + 10.5;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = -6·0 + 10.5 = 10.5 кН;
QI(2) = -6·2 + 10.5 = -1.5 кН;
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
QI(z) = -6z + 10.5 = 0
z1 = 10.5/6 = 1.75 м;
Изгибающий момент M:
MI(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 = 10.5z - 6(z - 0)2/2 = 10.5z - 6z2/2 = = -3z2 + 10.5z;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = -3·02 + 10.5·0 = 0; MI(2) = -3·22 + 10.5·2 = 9 кНм;
Локальный экстремум в точке z1 = 1.75 м:
MI(1.75) = -3·1.752 + 10.5·1.75 = 9.1875 кНм;
Участок II (2 ≤ z ≤ 3):
Поперечная сила Q:
QII(z) = RA - q1(z - a1) + q1(z - b1) = 10.5 - 6(z - 0) + 6(z - 2) =
= -1.5;
Значения Q на краях отрезка:
QII(2) = -1.5 кН;
QII(3) = -1.5 кН;
Изгибающий момент M:
MII(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 = 10.5z - 6(z - 0)2/2 + 6(z - 2)2/2 = 10.5z - 6z2/2 + 6(z2/2 - 2z +
2) =
= -1.5z + 12;
Значения M на краях отрезка:
MII(2) = -1.5·2 + 12 = 9 кНм;
MII(3) = -1.5·3 + 12 = 7.5 кНм;
Участок III (3 ≤ z ≤ 4):
Поперечная сила Q:
QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) + q1(z - b1) - q2(z - a2) = 10.5 + 6.5 - 6(z - 0) + 6(z - 2) - 5(z - 3) =
= -5z + 20;
Значения Q на краях отрезка:
QIII(3) = -5·3 + 20 = 5 кН;
QIII(4) = -5·4 + 20 = 0;
Изгибающий момент M:
MIII(z) = RA z + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 - q2(z - a2)2/2 = 10.5z + 6.5(z - 4 + 1) - 6(z - 0)2/2 + 6(z - 2)2/2 - 5(z - 3)2/2 = 10.5z + 6.5(z - 3) - 6z2/2 + 6(z2/2 - 2z + 2) - 5(z2/2 - 3z + 4.5) =
= -2.5z2 + 20z - 30;
Значения M на краях отрезка:
MIII(3) = -2.5·32 + 20·3 - 30 = 7.5 кНм; MIII(4) = -2.5·42 + 20·4 - 30 = 10 кНм;
Вар 19
Тип балки: Двухопорная балка консоль справа Размеры: L = 4 м; L2 = 1 м;
Нагрузки: q1 = 6 кН/м, z (3; 4); F1 = 8 кН, z = 1 м;
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA(L - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi =
=- RA(L - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 + F1(L - L2 - c1) = - RA·(4 - 1) + 6·(4 - 3)·(2·4 -
2·1 - 3 - 4)/2 + 8·(4 - 1 - 1) =
=- RA·3 - 6·1·0.5 + 8·2 =
=- RA·3 + 13 = 0
RA = 13/3 = 4.33333 кН;
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB(L - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi)/2 - ∑Fici - ∑Mi =
=RB(L - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1)/2 - F1c1 = RB·(4 - 1) - 6·(4 - 3)·(3 + 4)/2 - 8·1 =
=RB·3 - 6·1·3.5 - 8·1 =
=RB·3 - 29 = 0
RB = 29/3 = 9.66667 кН;
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi =
=RA + RB - q1(b1 - a1) - F1 =
=4.33333 + 9.66667 - 6·(4 - 3) - 8 =
=4.33333 + 9.66667 - 6 - 8 = 0;
Участок I (0 ≤ z ≤ 1):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA =
= 4.33333;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = 4.33333 кН;
QI(1) = 4.33333 кН;
Изгибающий момент M:
MI(z) = RA z =
= 4.33333z;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = 4.33333·0 = 0;
MI(1) = 4.33333·1 = 4.33333 кНм;
Участок II (1 ≤ z ≤ 3):
Поперечная сила Q:
QII(z) = RA - F1 = 4.33333 - 8 =
= -3.66667;
Значения Q на краях отрезка:
QII(1) = -3.66667 кН;
QII(3) = -3.66667 кН;
Изгибающий момент M:
MII(z) = RA z - F1(z - c1) = 4.33333z - 8(z - 1) =
= -3.66667z + 8;
Значения M на краях отрезка:
MII(1) = -3.66667·1 + 8 = 4.33333 кНм;
MII(3) = -3.66667·3 + 8 = -3 кНм;
Участок III (3 ≤ z ≤ 4):
Поперечная сила Q:
QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) - F1 = 4.33333 + 9.66667 - 6(z - 3) - 8 =
= -6z + 24;
Значения Q на краях отрезка:
QIII(3) = -6·3 + 24 = 6 кН;
QIII(4) = -6·4 + 24 = 0;
Изгибающий момент M:
MIII(z) = RA z + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 - F1(z - c1) = 4.33333z + 9.66667(z - 4 + 1) - 6(z - 3)2/2 - 8(z - 1) = 4.33333z + 9.66667(z - 3) - 6(z2/2 - 3z + 4.5) - 8(z - 1) =
= -3z2 + 24z - 48;
Значения M на краях отрезка:
MIII(3) = -3·32 + 24·3 - 48 = -3 кНм; MIII(4) = -3·42 + 24·4 - 48 = 0;
20
Тип балки: Двухопорная балка консоль справа Размеры: L = 4 м; L2 = 1 м;
Нагрузки: q1 = 6 кН/м, z (0; 4); M1 = -10 кНм, z = 1 м;
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA(L - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi =
=- RA(L - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 - M1 = - RA·(4 - 1) + 6·(4 - 0)·(2·4 - 2·1 - 0 - 4)/2 + 10 =
=- RA·3 + 6·4·1 + 10 =
=- RA·3 + 34 = 0
RA = 34/3 = 11.3333 кН;
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB(L - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi)/2 - ∑Fici - ∑Mi =
=RB(L - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1)/2 - M1 = RB·(4 - 1) - 6·(4 - 0)·(0 + 4)/2 + 10 =
=RB·3 - 6·4·2 + 10 =
=RB·3 - 38 = 0
RB = 38/3 = 12.6667 кН;
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi =
=RA + RB - q1(b1 - a1) =
=11.3333 + 12.6667 - 6·(4 - 0) =
=11.3333 + 12.6667 - 24 = 0;
Участок I (0 ≤ z ≤ 1):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA - q1(z - a1) = 11.3333 - 6(z - 0) =
= -6z + 11.3333;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = -6·0 + 11.3333 = 11.3333 кН;
QI(1) = -6·1 + 11.3333 = 5.33333 кН;
Изгибающий момент M:
MI(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 = 11.3333z - 6(z - 0)2/2 = 11.3333z - 6z2/2 = = -3z2 + 11.3333z;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = -3·02 + 11.3333·0 = 0;
MI(1) = -3·12 + 11.3333·1 = 8.33333 кНм;
Участок II (1 ≤ z ≤ 3):
Поперечная сила Q:
QII(z) = RA - q1(z - a1) = 11.3333 - 6(z - 0) =
= -6z + 11.3333;
Значения Q на краях отрезка:
QII(1) = -6·1 + 11.3333 = 5.33333 кН;
QII(3) = -6·3 + 11.3333 = -6.66667 кН;
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
QII(z) = -6z + 11.3333 = 0
z1 = 11.3333/6 = 1.88889 м;
Изгибающий момент M:
MII(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 + M1 = 11.3333z - 6(z - 0)2/2 - 10 = 11.3333z - 6z2/2 - 10 = = -3z2 + 11.3333z - 10;
Значения M на краях отрезка:
MII(1) = -3·12 + 11.3333·1 - 10 = -1.66667 кНм;
MII(3) = -3·32 + 11.3333·3 - 10 = -3 кНм;
Локальный экстремум в точке z1 = 1.88889 м:
MII(1.88889) = -3·1.888892 + 11.3333·1.88889 - 10 = 0.7037 кНм;
Участок III (3 ≤ z ≤ 4):
Поперечная сила Q:
QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) = 11.3333 + 12.6667 - 6(z - 0) =
= -6z + 24;
Значения Q на краях отрезка:
QIII(3) = -6·3 + 24 = 6 кН;
QIII(4) = -6·4 + 24 = 0;
Изгибающий момент M:
MIII(z) = RA z + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 + M1 = 11.3333z + 12.6667(z - 4 + 1) - 6(z - 0)2/2 - 10 = 11.3333z + 12.6667(z - 3) - 6z2/2 - 10 =
= -3z2 + 24z - 48;
Значения M на краях отрезка:
MIII(3) = -3·32 + 24·3 - 48 = -3 кНм; MIII(4) = -3·42 + 24·4 - 48 = 0;
21 Тип балки: Двухопорная балка консоль справа Размеры: L = 4 м; L2 = 1 м;
Нагрузки: q1 = 6 кН/м, z (0; 2); F1 = 8 кН, z = 4 м;
Сумма моментов всех сил относительно точки B должна равняться нулю: ∑MB = - RA(L - L2) + ∑qi(bi - ai)(2L - 2L2 - ai - bi)/2 + ∑Fi(L - L2 - ci) - ∑Mi =
=- RA(L - L2) + q1(b1 - a1)(2L - 2L2 - a1 - b1)/2 + F1(L - L2 - c1) = - RA·(4 - 1) + 6·(2 - 0)·(2·4 -
2·1 - 0 - 2)/2 + 8·(4 - 1 - 4) =
=- RA·3 + 6·2·2 - 8·1 =
=- RA·3 + 16 = 0
RA = 16/3 = 5.33333 кН;
Сумма моментов всех сил относительно точки A должна равняться нулю: ∑MA = RB(L - L2) - ∑qi(bi - ai)(ai + bi)/2 - ∑Fici - ∑Mi =
=RB(L - L2) - q1(b1 - a1)(a1 + b1)/2 - F1c1 = RB·(4 - 1) - 6·(2 - 0)·(0 + 2)/2 - 8·4 =
=RB·3 - 6·2·1 - 8·4 =
=RB·3 - 44 = 0
RB = 44/3 = 14.6667 кН;
Для проверки вычислим сумму проекций всех сил на вертикальную ось: ∑Y = RA + RB - ∑qi(bi - ai) - ∑Fi =
=RA + RB - q1(b1 - a1) - F1 =
=5.33333 + 14.6667 - 6·(2 - 0) - 8 =
=5.33333 + 14.6667 - 12 - 8 = 0;
Участок I (0 ≤ z ≤ 2):
Поперечная сила Q:
QI(z) = RA - q1(z - a1) = 5.33333 - 6(z - 0) =
= -6z + 5.33333;
Значения Q на краях отрезка:
QI(0) = -6·0 + 5.33333 = 5.33333 кН;
QI(2) = -6·2 + 5.33333 = -6.66667 кН;
На этом участке эпюра Q пересекает горизонтальную ось. Точка пересечения:
QI(z) = -6z + 5.33333 = 0z1 = 5.33333/6 = 0.88889 м;
Изгибающий момент M:
MI(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 = 5.33333z - 6(z - 0)2/2 = 5.33333z - 6z2/2 = = -3z2 + 5.33333z;
Значения M на краях отрезка:
MI(0) = -3·02 + 5.33333·0 = 0;
MI(2) = -3·22 + 5.33333·2 = -1.33333 кНм;
Локальный экстремум в точке z1 = 0.88889 м:
MI(0.88889) = -3·0.888892 + 5.33333·0.88889 = 2.37037 кНм;
Участок II (2 ≤ z ≤ 3):
Поперечная сила Q:
QII(z) = RA - q1(z - a1) + q1(z - b1) = 5.33333 - 6(z - 0) + 6(z - 2) =
= -6.66667;
Значения Q на краях отрезка:
QII(2) = -6.66667 кН;
QII(3) = -6.66667 кН;
Изгибающий момент M:
MII(z) = RA z - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 = 5.33333z - 6(z - 0)2/2 + 6(z - 2)2/2 = 5.33333z - 6z2/2 + 6(z2/2 - 2z + 2) =
= -6.66667z + 12;
Значения M на краях отрезка:
MII(2) = -6.66667·2 + 12 = -1.33333 кНм;
MII(3) = -6.66667·3 + 12 = -8 кНм;
Участок III (3 ≤ z ≤ 4):
Поперечная сила Q:
QIII(z) = RA + RB - q1(z - a1) + q1(z - b1) = 5.33333 + 14.6667 - 6(z - 0) + 6(z - 2) =
= 8;
Значения Q на краях отрезка:
QIII(3) = 8 кН;
QIII(4) = 8 кН;
Изгибающий момент M:
MIII(z) = RA z + RB(z - L + L2) - q1(z - a1)2/2 + q1(z - b1)2/2 = 5.33333z + 14.6667(z - 4 + 1) - 6(z - 0)2/2 + 6(z - 2)2/2 = 5.33333z + 14.6667(z - 3) - 6z2/2 + 6(z2/2 - 2z + 2) =
= 8z - 32;
Значения M на краях отрезка:
MIII(3) = 8·3 - 32 = -8 кНм;
MIII(4) = 8·4 - 32 = 0;