ответы / ОТВЕТЫ СОПРОМАТ 4

Для наглядного представления о распределении внутренних сил по длине стержня строят графики внутренних сил, которые называют эпюрами внутренних сил.

11

2. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ. Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержней. Продольная сила. Построение эпюр продольных сил. Крутящий момент. Построение эпюр крутящих моментов. Плоский изгиб. Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы.

Дифференциальные зависимости при изгибе. Правила проверки правильности построения эпюр. Понятие о напряженном состоянии в точке. Полное, нормальное и касательное напряжения. Интегральная связь между напряжениями и внутренними силовыми факторами. Понятие о деформированном состоянии в точке. Линейные и угловые деформации.

Метод сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии, рассекают мысленно на две части (рис. 1, а), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы1 и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению

Внутренние силовые факторы в поперечном сечении стержней.

Внутренние силовые факторы (усилия) возникают в результате деформации бруса, когда под действием внешних нагрузок происходит изменение взаимного расположения элементарных частиц тела.

12

Продольная сила.

это внутренний силовой фактор, который возникает в поперечных сечениях элементов, работающих на центральное растяжение (сжатие)

N равна проекции главного вектора на ось x. Ее величину численно определяют как алгебраическую сумму проекций на эту ось всех внешних сил (активных и реактивных), приложенных к рассматриваемой части.

Построение эпюр продольных сил.

проводим прямую, параллельную продольной оси бруса (базовая линия). Значение нормальных сил откладывают в выбранном масштабе и с учетом знаков (положительные силы откладываем вправо от базовой линии, а отрицательные — влево) на уровне соответствующего участка.

Крутящий момент. Построение эпюр крутящих моментов.

Т и изгибающие моменты Mz и My – проекции главного момента на оси x, y, z – соответственно. Численно каждый из них равен алгебраической сумме моментов относительно соответствующей оси всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой части.

Внутренние силы и моменты в разных сечениях стержня различны. Графики, показывающие изменение внутренних усилий вдоль оси стержня, называют эпюрами. При построении эпюр придерживаются следующих правил:

– ось (базу), на которой строится эпюра, выбирают так, чтобы она была параллельна оси стержня;

13

–ординаты эпюры с выбранным интервалом откладывают от оси по перпендикуляру в избранном масштабе, в характерных сечениях проставляют числа, показывающие величины силового фактора;

–в поле эпюры в кружочке ставят знак усилия.

Плоский изгиб.

изгиб, при котором все усилия, изгибаю-щие балку, лежат в одной из плоскостей симметрии балки (в одной из главных плоскостей).

Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы.

Эпюрами внутренних поперечных сил и изгибающих моментов называют графическое представление распределения функций Q и M по длине балки при изгибе.

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Для определения внутренних сил применяется метод сечений, который заключается в следующем. Находящееся в равновесии под действием системы внешних сил призматическое тело (рис. 1.7а) рассекается

(мысленно) плоскостью, перпендикулярной к продольной оси, на две части. Одна из частей отбрасывается и рассматривается равновесие оставшейся части. Действие отброшенной части на оставшуюся заменяется некоторыми распределенными по сечению силами. Как известно, система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Распределенные по сечению силы заменяются

Вводится ортогональная система координат, так чтобы ось Оz совпадала с продольной осью тела, а оси Оx и Оy – расположены в поперечном сечении. Главный вектор и главный момент раскладываются на составляющие, которые называются внутренними силами.

В общем случае в поперечном сечении будут действовать шесть сил: –N продольная сила (проекция вектора R направленная по оси Оz); , Оx, Оy – поперечные силы (проекции вектора R направленные по осям Оx, Оy); – T крутящий момент (проекция момента относительно оси Оz); , M x M y – изгибающие моменты (проекции момента M относительно осей Оx, Оy).

14

Так как рассматриваемая часть тела находится в равновесии, то должны выполняться шесть уравнений равновесия:

Для наглядного представления о распределении внутренних сил по длине стержня строят графики внутренних сил, которые называют эпюрами внутренних сил.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 6.5 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 6.5,б) и подвижной (рис. 6.5,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих

15

закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 6.3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.6.5,в).

Рис. 6.5. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре; в – в шарнирно-подвижной опоре

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

а) б)

Рис.6.7. а - правило знаков для поперечной силы Q; б - правило знаков для изгибающего момента M.

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий

16

момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.

Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины (рис.6.8). Этот слой называется нейтральным или нулевым, а его след на плоскости поперечного сечения

– нейтральной (нулевой) линией или осью.

Рис.6.8

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.6.9). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении – внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу Qy и изгибающий момент Mx. Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.

17

18

Дифференциальные зависимости при изгибе

19

Правила проверки правильности построения эпюр

Для проверки эпюр используются следующие правила.

Эпюры N и T

В том сечении, где приложена сила (момент) на эпюре N (T) должен быть скачек на величину этой силы (момента). Скачком на эпюре называется разрыв первого рода (конечный разрыв).

Эпюра Q

1.В том сечении, где приложена сила, на эпюре должен быть скачек на величину этой силы. При движении по эпюре слева направо направления скачка должно совпадать с направлением силы.

2.Если участок не нагружен распределенной нагрузкой, то эпюра является прямой горизонтальной линией. При действии на участке распределенной нагрузки эпюра представляет собой прямую наклонную линию.

3.Если q < 0 (нагрузка направлена вниз), то поперечная сила слева направо уменьшается. При q > 0 (нагрузка направлена вверх) поперечная сила слева направо увеличивается.

Эпюра М

1.В том сечении, где приложен момент, на эпюре должен быть скачек на величину этого момента. При движении по эпюре слева направо при действии момента против хода часовой стрелки скачек должен быть направлен вниз, а при действии момента по ходу часовой стрелки – вверх.

2.Если участок не нагружен распределенной нагрузкой, то эпюра

является прямой линией. При нагружении участка распределенной

20