ответы / ОТВЕТЫ СОПРОМАТ 4

111

112

11. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Потенциальная энергия деформации стержня. Теорема Ка-стильяно. Метод Мора.

Потенциальная энергия деформации стержня. Теорема Кастильяно. Метод Мора.

состоит в приближенном определении квадрата частоты собственных колебаний стержня из энергетических соотношений на основании принимаемой заранее приближенной формы упругой линии стержня.

Потенциальная энергия деформации стержня

113

114

115

116

117

Теорема Кастильяно

Для определения перемещений стержневой системы может быть использована теорема Кастильяно, которая имеет следующую формулировку: производная от потенциальной энергии деформации упругого тела по силе, равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.

Перемещение точки тела по направлению силы равна проекции полного перемещения точки на направление силы.

Метод Мора

Теорема Кастельяно дала нам возможность определять перемещения. Эту теорему используют для отыскания перемещений в пластинках,

оболочках. Однако, вычисление потенциальной энергии громоздкая процедура и мы сейчас наметим более простой и наиболее общий путь определения перемещений в стержневых системах.

Пусть задана произвольная стержневая система и нам нужно определить в ней

перемещение точки по направлению , вызванное всеми силами системы -

Т.к. в общем случае в системе нет силы, приложенной по направлению искомого перемещения, то воспользоваться теоремой Кастельяно

нельзя. Добавим к числу прочих сил силу , приложенную к точке и действующую в направлении . Тогда внутренние силовые факторы в системе можно выразить

118

, где - внутренние силовые факторы в системе от действующих сил;

- внутренние силовые факторы от силы .

Внесем эти выражения в (3)

По теореме Кастельяно:

Учтя, что

получаем выражение:

называемое интегралом Мора.

Для того, чтобы определить перемещение с помощью метода Мора, необходимо:

1)Определить внутренние силовые факторы в системе от заданных сил.

2)Приложить по направлению искомого перемещения единичную обобщенную силу (единичную силу для определения линейного перемещение, пару сил с моментом равным единице для определения углового перемещения и определить внутренние силовые факторы от единичной силы.

3)Подставить полученные ранее выражения в интеграл Мора и определить перемещение.

Для систем, работающих на изгиб: балок, рам, влияние нормальных сил на величину перемещения незначительно и интеграл Мора в этом случае

выглядит:

119

13. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ. Основные понятия. Примеры концентраторов напряжений. Анализ распределений напряжений в простейших конструкциях с концентратором напряжений. Теоретический коэффициент концентрации напряжений. Способы снижения концентрации напряжений.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ

называется увеличение напряжений в малых областях, примыкающих к местам с резким изменением формы поверхности тела, размеров его сечения или с

Основные понятия

Указанные особенности в материале, в форме элемен-тов конструкции,

сосредоточенные и резко изменяющиеся нагрузки называются концентраторами напряжений. В окрест-ности концентраторов напряжений возникает быстрое измене-

ние напряжений. Явление быстрого возрастания напряжений в окрестности некоторых точек тела называется концентрацией напряжений

Напряжения, возникающие вблизи концентраторов напряжений, не могут быть правильно определены с помощью формул сопротивления материалов или на основе каких-либо других приближенных теорий прочности.

С достаточно большой точностью величины напряжений вблизи концентраторов напряжений определяются экспериментально, либо с использованием науки о деформировании упругих твердых тел – теории упругости.

120