Лабораторные и практики / 11_ЛР / 11_ЛР
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
_____________________________________________________________________________
Кафедра информационной безопасности телекоммуникационных систем Дисциплина «Основы криптографии с открытыми ключами»
Лабораторная работа 11
«Система электронного голосования на основе гомоморфных свойств криптосистемы Пэйе»
Выполнила: |
студ. гр. |
|
. |
.
Проверил: |
проф. Яковлев В.А.. |
Санкт-Петербург
2021
Цель лабораторной работы
Изучение принципов построения системы электронного голосования на основе криптосистемы Пэйе и анализ выполнения требований по обеспечению ее безопасности.
Исходные данные
Вариант №6
Число избирателей Nv = 6, число кандидатов Nc = 5
Таблица 1. Заполнение бюллетеня избирателей.
Избиратель |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
Голос (m) |
|
|
(70) |
(71) |
(72) |
(73) |
(74) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
v |
|
|
m=72 |
=49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
v |
|
|
|
v |
m=70 |
+74=2402 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
v |
|
m=73=343 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
|
v |
|
|
|
m=71 |
=7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A5 |
v |
|
v |
|
v |
m=70 +72+74=2451 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A6 |
|
|
v |
|
|
m=72 |
=49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итог: |
2 |
1 |
3 |
1 |
2 |
530110 = 213127 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основание системы счисления выбираем равным b = + 1 = 6 + 1 = 7
Ход работы
Генерация ключей
Максимальное число, соответствующее сумме голосов одного избирателя:
= ∑=1 −1 = ∑=15 |
7−1 = 2801. |
|
|
|
|||
Максимальное |
число, |
соответствующее |
сумме |
всех |
голосов: |
||
|
= |
|
= 6 2801 = 16806 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбираем два простых числа , такие, что наибольший общий делитель
( , ( − 1)( − 1)) = 1 и ≥ + 1, где = . Пусть = 107, = 181
Проверка:
( , ( − 1)( − 1)) = (19367, 19080) = 1= = 107 181 = 193672 = 193672 = 375080689
Выбираем случайным образом числа и из множества :
Пусть = 5, = 11. |
|
|||||
Вычисляем |
|
2 |
такое, что gcd ( |
2−1 |
|
, ) = 1: |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ( + 1) 2= (5 19367 + 1) 1119367 375080689 = 194409884
Проверка:
= ( − 1, − 1) = (106, 180) = 9540
( 1944098849540 375080689 − 1 , 19367) = (8966, 19367) = 1 19367
Вычисляем = [ ( λ 2)]−1 , где |
L(u) = |
−1 |
|
– наибольшее |
||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
целое число, удовлетворяющее выражению − 1 |
≥ L(u) ∙ . |
|
|
|||||||
( λ 2) = |
λ 2 − 1 |
|
1944098849540 375080689 − 1 |
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
19367 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
= 8966= [ ( λ 2)]−1 = 8966−1 19367 = 5277
( , ) = (19367, 194409884) − открытый ключ.
( , ) = (5277, 9540) − закрытый ключ.
Шифрование:
Зашифруем сообщения, содержащие выбор избирателей, используя для шифрования каждого сообщения случайное число r Z*n:
( |
) = |
= |
|
|
|
|
2 |
= 194409884 |
|
|
19367 |
375080689 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Таблица 7. |
Результат шифрования голосов избирателей. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Избиратель |
|
Случайное |
|
|
Голос (m) |
|
|
|
|
Зашифрованное |
||||||
|
|
|
число (ri) |
|
|
|
|
|
|
|
значение голоса (ci) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
311617791 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2402 |
|
|
|
|
|
221672394 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
343 |
|
|
|
|
|
371236932 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A4 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
288971665 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A5 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
2451 |
|
|
|
|
|
319128328 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A6 |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
65986083 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подсчет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
5301 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отправляем криптограммы на сервер.
Вычисления над зашифрованными данными
Сервер в конце |
выборов имеет не |
более |
|
–криптограмм |
|
|
|
|
|
,соответствующих |
− голосам. Сервер |
производит |
вычисления над |
|
|
|
|
|
|
зашифрованными данными (произведение криптограмм) и отправляет в избирательную комиссию:
= ∏ 2 = (311617791 221672394 371236932
=1
288971665 319128328 65986083) 375080689 = 263353943
Дешифрование
Дешифрование криптограммы произведения Т осуществляется избирательной комиссией. Согласно гомоморфному свойству криптосистемы Пэйе:
D(T) = ∑=1 = , где ( ) − расшифрование T. Расшифрование выполняется по формуле:
( ) = = ( 2)
( 2) = |
2 − 1 |
= |
2633539439540 375080689 − 1 |
= |
|
|
19367 |
|
|||
|
|
|
|
||
= 2148( ) = = 2148 5277 19367 = 5301
Таким образом, подсчет зашифрованных голосов дает сумму всех голосов. Для определения победителя голосования необходимо преобразовать получившееся значение в числовую форму, представленную в начале выборов. Т.е. число необходимо представить в b-ичной системе счисления и по коэффициентам разрядов этого числа определить кандидатовпобедителей.
530110 = 2 74 + 1 73 + + 1 71 + 2 70 = 213127
Можно сделать вывод о том, что победителем электронных выборов является кандидат B3.
Вывод
В ходе выполнения данной лабораторной работы было получено представление о практическом применении аддитивного гомоморфного свойства криптосистемы Пайе в системе электронного голосования.