Лабораторные и практики / 09_ЛР / 9_ЛР
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
_____________________________________________________________________________
Кафедра информационной безопасности телекоммуникационных систем Дисциплина «Основы криптографии с открытыми ключами»
Лабораторная работа 9
«Изучение системы шифрования Пэйе и ее гомоморфных свойств»
Выполнила: |
студ. гр. |
|
. |
.
Проверил: |
проф. Яковлев В.А.. |
Санкт-Петербург
2021
Цель лабораторной работы
Закрепление теоретических знаний, приобретение навыков шифрования и дешифрования информации с помощью КС Пэйе и изучение его гомоморфных свойств.
Исходные данные
Вариант 6
p = 7, q = 17, M = 16
Ход работы
Генерация ключей
В качестве открытого ключа принимаем пару (n, g), а закрытого - ( , ).
Вычисляем , и выбираем случайно сгенерированное число , такое что
2:
Рисунок 1. Генерация ключей.
= = 7 17 = 119 g = 96
= НОК( − 1, − 1) = НОК(6, 16) = 48 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычисляем = [ ( λ 2)]−1 , |
где L(u) = |
−1 |
|
– наибольшее |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
целое число, удовлетворяющее выражению − 1 ≥ L(u) ∙ . |
|
|
|||||||||||||
( λ 2) = |
λ 2 − 1 |
= |
9648 1192 − 1 |
|
= |
|
357 |
= 3 |
|||||||
|
|
119 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
119 |
|
|
|
|
||||||
= [ ( λ 2)]−1 = 3−1 119 = 40 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
962 |
14161 = 9 216 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
964 |
14161 = 4 945 4 945 14161 = 11 139 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
968 |
14161 = 3 022 3 022 14161 = 12 800 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
14161 |
= 747 747 14161 = 11 391 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
14161 |
= 11 391 11 391 14161 = 11 799 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
9648 14161 = 11 391 11 799 14161 = 358
119 = 3*39 + 2 |
2=119-3*39 |
3 = 2*1 + 1 |
1=3-2 |
1=3-2=3-119+3*39=3*40-119 |
|
3−1 119 = 40 |
|
Шифрование
Выбираем случайное число k :
Рисунок 2. Генерация случайного числа k.
Вычисляем криптограмму:
( ) = = ( 2) = 9616 32119 ( 1192) 9616 14161 = 11 391 119 = 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1
322 14161 = 1 024 324 14161 = 1 024 1 024 14161 = 662
328 14161 = 662 662 14161 = 13 414 3216 14161 = 1 024 1 024 14161 = 5 730 3232 14161 = 5 730 5 730 14161 = 7702 3264 14161 = 7702 7702 14161 = 375
32119 = 3264 3232 3216 324 322 32 14161 = = 375 7702 5 730 662 1024 32 14161 = 4 734
(16) = = 9616 32119 ( 1192) = 11 391 4 734 14161 = = 14 067
Проверка вычисления в программе:
Рисунок 3. Проверка шифрования.
Дешифрование |
|
|
||||
= ( 2) |
|
|
||||
( 2) = |
2 − 1 |
= |
1406748 1192 − 1 |
= 48 |
||
|
119 |
|||||
|
|
|
|
|
||
|
1406748 14161 = 2942 13465 14161 = 5713 |
|||||
|
140672 |
14161 = 8 836 |
|
|
||
|
140674 |
14161 = 8836 8836 14161 = 5303 |
||||
|
140678 |
14161 = 5303 5303 14161 = 12224 |
||||
|
1406716 14161 = 12224 12224 14161 = 13465 |
|||||
|
1406732 14161 = 13465 13465 14161 = 2942 |
|||||
= |
48 40 119 = 16 |
|
|
|||
Проверка вычисления в программе:
Рисунок 4. Проверка дешифрования.
Проверка свойств гомоморфности
Для проверки гомоморфных свойств положим 1 = 3, 2 = 7, и зашифруем их по вышеописанному алгоритму (ключи и параметр k возьмем из расчетов выше).
( 1) = 963 32119 ( 1192) = 4734 6754 14161 = 12059( 2) = 967 32119 ( 1192) = 4734 9 574 14161 = 8116
963 14161 = 9 216 96 14161 = 6 754 967 14161 = 11139 6754 14161 = 9 574
Первое свойство: при дешифровании произведения двух шифротекстов будет получена сумма соответствующих им открытым текстам:
|
|
|
|
( ( |
|
) ∙ ( |
) 2) = ( |
+ |
) |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
2 |
|
|
||||
Вычисляем ( ( ) |
∙ ( |
) |
2): |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( ) ∙ ( |
|
) 2 |
= 12059 8116 1192 = 4173 |
|||||||||
1,2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( |
|
2) = |
1,2 |
2 |
− 1 |
= |
417348 1192 − 1 |
= |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
119 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
3570 |
= 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
119 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,2 |
2 = 417348 |
1192 |
= 1191 2381 14161 = 3571 |
||||||||||||
41732 14161 = 10060 41734 14161 = 10060 10060 14161 = 9094
41738 14161 = 9094 9094 14161 = 596 417316 14161 = 596 596 14161 = 1191 417332 14161 = 1191 1191 14161 = 2381
( 1,2) = ( 1,2 2)( 1,2) = 30 40 119 = 10
Вычисляем ( 1 + 2) :
( 1 + 2) = (3 + 7) 119 = 10
Видим, что:
( ( 1) ∙ ( 2) 2) = ( 1 + 2) = 10
Проверка:
Рисунок 5. Проверка первого свойства.
Второе свойство: при дешифровании криптограммы, возведенной в степень
, будет получено произведение открытого текста и показателя
степени :
(( ( )) ) 2 = ∙
Выберем сообщение = 3 и показатель степени = 10
Вычисляем (( ( )) ) 2:
= ( ( )) 2 = 1205910 1192 = 6612 1262 14161 =
= 4384 14161 = 172
120594 14161 = 172 172 14161 = 1262
|
14161 = 1262 1262 14161 = 6612 |
||||||
|
|||||||
( ) = ( 2) |
|
|
|
||||
( 2) = |
2 − 1 |
= |
438448 1192 − 1 |
= |
|||
|
|
119 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
10710 |
|
|
|
|
|
|
|
= 119 = 90 438448 14161 = 10796 8586 14161 = 10711
43842 14161 = 2979 43844 14161 = 2979 2979 14161 = 9655
43848 14161 = 9655 9655 14161 = 1132314161 = 11323 11323 14161 = 1079614161 = 10796 10796 14161 = 8586
( ) = 90 40 119 = 30
Вычисляем ∙ :
∙ = 10 3 119 = 30
Видим, что:
(( ( )) ) 2 = ∙ = 30
Проверка:
Рисунок 6. Проверка второго свойства.
Вывод
В ходе выполнения данной лабораторной работы были изучены и вручную проведены преобразования, выполняемые при шифровании и дешифровании сообщений в системе Пэйе, проведена проверка её гомоморфных свойств.