Лабораторные и практики / 06_ЛР / 6_ЛР
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
_____________________________________________________________________________
Кафедра информационной безопасности телекоммуникационных систем Дисциплина «Основы криптографии с открытыми ключами»
Практическое задание 6
«Криптосистема Рабина»
Выполнила: |
студ. гр. |
|
. |
.
Проверил: |
проф. Яковлев В.А.. |
Санкт-Петербург
2021
Цель работы
Закрепить знания, полученные на лекциях по теме “Криптосистема Рабина”.
Задание
1.Выполнить упражнения по расшифрованию криптограммы, полученной в криптосистеме Рабина.
2.Зашифровать сообщение в криптосистеме Рабина.
Порядок
1.Выбрать вариант.
2.Зашифровать сообщение табл. 1
3.Расшифровать криптограмму табл.2
Ход работы
Часть 1:
|
|
|
Таблица 1 |
|
|
|
|
|
|
№ |
p |
q |
|
M |
6 |
47 |
19 |
|
1129 |
= = 47 ∙ 19 = 893
M=112910=100011010012 – сообщение
M1=10002=810 M2=11010012=10510
|
= 2 |
= 64 893 = 64 |
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
= 11025 893 = (10716 + 309) 893 = 309 |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С1,С2 – криптограммы сообщений М1, М2 |
|
|
|
|||||||||||||||
Часть 2: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
М |
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
р=23, q=7 |
|
|
|||
6 |
|
|
43 |
|
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = = 23 ∙ 7 = 161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Символ Лежандра : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
С |
|
−1 |
|
|
|
|
|
23−1 |
|
|
11( |
|
|
||||
|
|
2 |
|
( |
|
|
) |
|
2 |
|
|
( |
) |
|
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( ) = |
|
= 76 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 = 76 |
23 |
|||||||||
|
С |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
7−1 |
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
( |
|
|
) |
|
2 ( |
) |
( |
|
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
( ) = |
|
|
|
= 76 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
= 76 |
7 |
|
|||||||
11 = 8+2+1
761 mod 23 = (69+8) mod 23= 8
762 mod 23 = 8 ∙ 8 mod 23 =(69-5) mod 23 = (-5) 764 mod 23 = 5 ∙ 5 mod 23 =( 23+2 )mod 23 =2 768 mod 23= 2 ∙ 2 mod 23 = 4
761 ∙ 762 ∙ 768 mod 23= 8 ∙ (-5) ∙ 2 mod 23= 9280 mod 23=12, невычет
2
3=2+1
761 mod 7=(77-1) mod 7=(-1) 762 mod 7=1 ∙ 1mod 7=1
763 mod 7 = (761 ∙ 762)mod 7 = (-1) ∙1 mod 7 = 6, невычет
В криптограмме С ошибка (ОШИБКА В САМОМ ЗАДАНИЕ).
Зашифруем сообщение М:
С=М2 mod161 = 432 mod161=1849 mod161=(1771+78) mod161=78
Проверка:
N = = 23 ∙ 7 = 161
Символ Лежандра :
|
С |
−1 |
|
|
|
|
23−1 |
|
|
11 |
|
|
|||||
|
2 |
|
( |
|
) |
|
2 |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( ) = |
|
= 78 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
23 = 78 |
|
23 =1 |
|||||||
|
С |
−1 |
|
|
|
|
7−1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
( |
|
) |
|
|
|
( |
) |
( |
|
) |
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( ) = |
|
|
= 78 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
= 78 |
7 =1 |
|||||||
11 = 8+2+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
781 mod 23 = (69+9) mod 23= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
782 mod 23 = 9 ∙ 9 mod 23 =(92-11) mod 23 = (-11) |
|
|
|||||||||||||||
784 mod 23 = 11 ∙ 11 mod 23 =( 115+6 )mod 23 =6
788 mod 23= 6 ∙ 6 mod 23 =(46-10 )mod 23 = (-10) 7811mod 23 =781 ∙ 782 ∙ 788 mod 23
7811mod 23 =9 ∙ (-11) ∙ (-10) mod 23= 989+1 mod 23=1, вычет
3=2+1
781 mod 7=(77+1) mod 7=1
782 mod 7=1 ∙ 1mod 7=1
783 mod 7 = (781 ∙ 782)mod 7 = 1 ∙1 mod 7 = 1, вычет
Расшифруем: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= √ ∙ = √78 23 ∙ 7 |
|
|
|
||||||
2 |
= 78 23 = 9 |
2 = 78 7 = 1 |
|||||||
|
|
|
23+1 |
|
|
|
7+1 |
||
= 78 |
|
4 23 = 786 23 = 3 |
= 78 |
4 7 = 782 7 = 1 |
|||||
= (3; −3) |
= (1; −1) |
||||||||
Системы уравнений: |
|
|
|
||||||
1) |
{ |
= 3 23 |
3) |
{ |
= 3 23 |
||||
|
|
= 1 7 |
|
|
= −1 7 |
||||
2) |
{ |
= −3 23 |
4) |
{ |
= −3 23 |
||||
|
|
= −1 7 |
|
= 1 7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
a)Решение 1-й системы уравнений:
Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x0 mod M, где М = m1∙ m2
{= 3 23
= 1 7
M = m1∙ m2 = 23∙ 7 = 161
0 = ∑
=1
x0 = M1y1a1 + M2y2a2
=
Miyi = 1mod mi
1 = |
161 |
= 7; |
2 = |
161 |
= 23 |
|
|
7 |
|||||
|
23 |
|
|
|
||
M1y1 = 1 mod m1 |
|
M2y2 = 1 mod m2 |
||||
7y1 = 1 mod 23 |
|
23y2 = 1 mod 7 |
||||
y1 |
= 10 |
|
|
|
y2 = 4 |
|
x0 |
= 7∙10∙3 + 23∙4∙1 =210+92=302 |
|||||
x = x0 mod M
x = 302 mod 161 =(161+141) mod 161 = 141
b)Решение 2-й системы уравнений:
Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x0 mod M, где М = m1∙ m2
{= −3 23
= −1 7
M = m1∙ m2 = 23∙ 7 = 161
0 = ∑
=1
x0 = M1y1a1 + M2y2a2
=
Miyi = 1mod mi
1 = |
161 |
= 7; |
2 = |
161 |
= 23 |
|
7 |
||||
23 |
|
|
|
||
M1y1 = 1 mod m1 |
|
M2y2 = 1 mod m2 |
|||
7y1 = 1 mod 23 |
|
23y2 = 1 mod 7 |
|||
y1 = 10 |
|
y2 = 4 |
|||
|
|
|
|
4 |
|
x0 = 7∙10∙(-3) + 23∙4∙(-1) =(-210-92)=(-302) x = x0 mod M
x = (-302) mod 161 =(322-302) mod 161 = 20
c)Решение 3-й системы уравнений:
Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x0 mod M, где М = m1∙ m2
{ = 3 23= −1 7
M = m1∙m2 = 23∙7 = 161
0 = ∑
=1
x0 = M1y1a1 + M2y2a2
=
Miyi = 1mod mi
1 = |
161 |
= 7; |
2 = |
161 |
= 23 |
|
|
|
|||||
|
23 |
|
7 |
|
||
M1y1 = 1 mod m1 |
M2y2 = 1 mod m2 |
|||||
7y1 = 1 mod 23 |
23y2 = 1 mod 7 |
|||||
y1 |
= 10 |
|
|
y2 = 4 |
||
x0 |
= 7∙10∙3 + 23∙4∙(-1) =(210-92)=118 |
|||||
x = x0 mod M |
|
|
|
|||
x = 118 mod 161 =118 |
|
|
|
|||
d)Решение 4-й системы уравнений:
Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x0 mod M, где М= m1∙ m2
{ = −3 23= 1 7
M = m1∙m2 = 23∙7 = 161
0 = ∑
=1
x0 = M1y1a1 + M2y2a2
=
5
Miyi = 1mod mi |
|
|
|
|
|
|||
1 = |
161 |
= |
7; 2 = |
161 |
|
= 23 |
||
|
|
|||||||
|
23 |
|
|
7 |
|
|
||
M1y1 = 1 mod m1 |
M2y2 = 1 mod m2 |
|||||||
7y1 = 1 mod 23 |
|
23y2 = 1 mod 7 |
||||||
y1 = 10 |
|
y2 = 4 |
|
|||||
x0 = 7∙10∙(-3) + 23∙4∙1 = (92-210)=(-118) |
||||||||
x = x0 mod M |
|
|
|
|
|
|||
x = (-118) mod 161 = 43 |
|
|
|
|
||||
Проверка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1: 1412mod161 = 20 ∙ 20 mod 161 = 78 |
|
|||||||
x2: 202mod161 = 400 mod 161 = 78 |
|
|||||||
x3: 1182mod161 = 43 ∙ 43 mod 161 = 78 |
|
|||||||
x4: 432mod161 = 1849 mod 161 = 78 |
|
|||||||
= 141; |
= 20; |
= 118; |
= 43; |
|
||||
Сообщение М=43 совпадает с корнем х4=43, расшифрование прошло успешно.
Вывод:
В ходе лабораторной работы закрепили знания, полученные на лекциях по теме “Криптосистема Рабина”.
6