Лабораторные и практики / 06_ЛР / 06_ЛР

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

_____________________________________________________________________________

Кафедра информационной безопасности телекоммуникационных систем

Дисциплина «Основы криптографии с открытыми ключами»

Практическое задание 6

«Криптосистема Рабина»

Выполнила: студ. гр. .

.

Проверил: проф. Яковлев В.А..

Санкт-Петербург

2021

Цель работы

Закрепить знания, полученные на лекциях по теме “Криптосистема Рабина”.

Задание

1. Выполнить упражнения по расшифрованию криптограммы, полученной в криптосистеме Рабина.

2. Зашифровать сообщение в криптосистеме Рабина.

Порядок

1. Выбрать вариант.

2. Зашифровать сообщение табл. 1

3. Расшифровать криптограмму табл.2

Ход работы

Часть 1:

Таблица 1

№	p	q	M
6	47	19	1129

M=1129₁₀=10001101001₂ – сообщение

M₁=1000₂=8₁₀

M₂=1101001₂=105₁₀

С₁,С₂ – криптограммы сообщений М₁, М₂

Часть 2:

Таблица 2

№	М	С	р=23, q=7
6	43	76

Символ Лежандра :

11 = 8+2+1

76¹ mod 23 = (69+8) mod 23= 8

76² mod 23 = 8 ∙ 8 mod 23 =(69-5) mod 23 = (-5)

76⁴ mod 23 = 5 ∙ 5 mod 23 =( 23+2 )mod 23 =2

76⁸ mod 23= 2 ∙ 2 mod 23 = 4

76¹ ∙ 76² ∙ 76⁸ mod 23= 8 ∙ (-5) ∙ 2 mod 23= 92- 80 mod 23=12, невычет

3=2+1

76¹ mod 7=(77-1) mod 7=(-1)

76² mod 7=1 ∙ 1mod 7=1

76³ mod 7 = (76¹ ∙ 76²)mod 7 = (-1) ∙1 mod 7 = 6, невычет

В криптограмме С ошибка (ОШИБКА В САМОМ ЗАДАНИЕ).

Зашифруем сообщение М:

С=М² mod161 = 43² mod161=1849 mod161=(1771+78) mod161=78

Проверка:

Символ Лежандра :

=1

=1

11 = 8+2+1

78¹ mod 23 = (69+9) mod 23= 9

78² mod 23 = 9 ∙ 9 mod 23 =(92-11) mod 23 = (-11)

78⁴ mod 23 = 11 ∙ 11 mod 23 =( 115+6 )mod 23 =6

78⁸ mod 23= 6 ∙ 6 mod 23 =(46-10 )mod 23 = (-10)

78¹¹mod 23 =78¹ ∙ 78² ∙ 78⁸ mod 23

78¹¹mod 23 =9 ∙ (-11) ∙ (-10) mod 23= 989+1 mod 23=1, вычет

3=2+1

78¹ mod 7=(77+1) mod 7=1

78² mod 7=1 ∙ 1mod 7=1

78³ mod 7 = (78¹ ∙ 78²)mod 7 = 1 ∙1 mod 7 = 1, вычет

Расшифруем:

Системы уравнений:

1)	3)
2)	4)

1. Решение 1-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙ m2 = 23∙ 7 = 161

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 23 23y₂ = 1 mod 7

y₁ = 10 y₂ = 4

x₀ = 7∙10∙3 + 23∙4∙1 =210+92=302

x = x₀ mod M

x = 302 mod 161 =(161+141) mod 161 = 141

2. Решение 2-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙ m2 = 23∙ 7 = 161

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 23 23y₂ = 1 mod 7

y₁ = 10 y₂ = 4

x₀ = 7∙10∙(-3) + 23∙4∙(-1) =(-210-92)=(-302)

x = x₀ mod M

x = (-302) mod 161 =(322-302) mod 161 = 20

3. Решение 3-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙m2 = 23∙7 = 161

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 23 23y₂ = 1 mod 7

y₁ = 10 y₂ = 4

x₀ = 7∙10∙3 + 23∙4∙(-1) =(210-92)=118

x = x₀ mod M

x = 118 mod 161 =118

4. Решение 4-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x₀ mod M, где М= m1∙ m2

M = m1∙m2 = 23∙7 = 161

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 23 23y₂ = 1 mod 7

y₁ = 10 y₂ = 4

x₀ = 7∙10∙(-3) + 23∙4∙1 = (92-210)=(-118)

x = x₀ mod M

x = (-118) mod 161 = 43

Проверка:

x₁: 141²mod161 = 20 ∙ 20 mod 161 = 78

x₂: 20²mod161 = 400 mod 161 = 78

x₃: 118²mod161 = 43 ∙ 43 mod 161 = 78

x₄: 43²mod161 = 1849 mod 161 = 78

𝒙_𝟏 = 141; 𝒙_𝟐 = 20; 𝒙_𝟑 = 118; 𝒙_𝟒 = 43;

Сообщение М=43 совпадает с корнем х₄=43, расшифрование прошло успешно.

Вывод:

В ходе лабораторной работы закрепили знания, полученные на лекциях по теме “Криптосистема Рабина”.