Лабораторные и практики / 03_ЛР / 03_ЛР

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

_____________________________________________________________________________

Кафедра информационной безопасности телекоммуникационных систем

Дисциплина «Основы криптографии с открытыми ключами»

Лабораторная работа 3

«Тестирование простых чисел»

Выполнила: студ. гр. .

.

Проверил: проф. Яковлев В.А..

Санкт-Петербург

2021

Цель работы:

Закрепить знания, полученные на лекциях курса “Основы криптографии с открытым ключом“ по разделам: “Квадратичные вычеты” и “Генерирование и тестирование простых чисел”.

Ход работы:

Задание 1

1. Рассчитаем вероятность попадания на простое число при случайном генерировании чисел разрядности l=100, 300, 500 и 1000 при помощи следующей команды:

l:…..;

lg(x) := log(x)/log(10);

EstimateProb:2*(9*l-10)/(9*l*(l-1)*lg(10));

Вероятность попадания на простое число: 89/4455=1,99%

Вероятность попадания на простое число: 269/40365=0,66%

Вероятность попадания на простое число: 449/112275=0, 39%

Вероятность попадания на простое число: 899/449550=0,19%

2. Для проверки теста Ферма сгенерируем необходимое количество случайных 3-х разрядных чисел при помощи команды: U:100+random(900); и отберем среди них не менее 3 нечетных чисел m, среди которых должно быть одно простое числа. Сгенерируем не менее 5 случайных 2-х разрядных чисел a при помощи команды: U:10+random(90).

числа m:	числа a:
, где 191 – простое число

Произведем проверку чисел m на простоту, используя тест Ферма при помощи команды: power_mod(a,m-1,m);

Программа выдала результат, что число 191 простое, а числа 429 и 585 составные.

Можно сделать вывод, что тестирование произведено верно. При использовании теста Ферма вероятность ошибки тестирования будет равна 1/2. Но стоит отметить, что тест Ферма не работает на числах Кармайкла.

3. Произведем тестирования числа Кармайкла m=561 по методу Ферма. Для этого сгенерируем необходимое количество случайных 2-х разрядных чисел a’ взаимно простых с 561, используя команды: gcd(a’,561);

Проверим число 561, используя тест Ферма

В ходе проверки программа показала, что число 561 простое, однако оно составное (3*11*17=561).

Можно сделать вывод, что данный тест нельзя использовать для чисел Кармайкла.

4. Произведем тестирование на простоту одного из чисел m и число Кармайкла 561, по методу Миллера–Рабина при помощи команды:

m:533;

f:0;

a:m-1;

u:random(m-2);

x:0;

while mod(a,2)=0 do (

f:f+1,

a:a/2);

printf(false,"a:~d,",a) ;

printf(false,"f:~d,",f) ;

x:power_mod(u,a,m);

for i:0 step  1 thru f do (

printf(true,"i:~d, x: ~d;",i,x),

x:mod(x^2,m));

Результат выполнения программы: число 561 составное.

1)
	Результат выполнения программы: число 191 простое.

Так как число m=191 прошло тест на простоту один раз, повторим расчет еще четыре раза. Если хотя бы в одном случае число m не пройдет тест, то оно составное .

2)
		Результат выполнения программы: число 191 простое.

3)
	Результат выполнения программы: число 191 простое.

4)
	Результат выполнения программы: число 191 простое.

5)
	Результат выполнения программы: число 191 простое.

Xисло 191 простое с вероятность ошибки p=1/4⁵=0,0009765625.

Тест Миллера — Рабина позволяет эффективно определить, является ли число простым или составным, однако данный тест - вероятностный. Вероятность ошибки равна 1/4^к.

5. Найдем несколько квадратичных вычетов u<m по mod(m), где m одно из простых 3-х разрядных чисел, используя вычисление символа Якоби (который для простых m совпадает с символом Лежандра) , при помощи следующей команды:

u:…..;m:…;

jacobi(u,m)

Задание 2

1. Распределение числа в поле GF(p) на вычеты и невычеты.

Для варианта 6: p=13,.

При С=1,		Проверка: , вычет
При С=2,		Проверка: , невычет
При С=3,		Проверка: , вычет
При С=4,		Проверка: , вычет
При С=5,		Проверка: , невычет
При С=6,		Проверка: , невычет
При С=7,		Проверка: , невычет
При С=8,		Проверка: , невычет
При С=9,		Проверка: , вычет
При С=10,		Проверка: , вычет
При С=11,		Проверка: , невычет
При С=12,		Проверка: , вычет
При С=13,		Проверка: , вычет

2. Проверим, является ли число а=(№вар+20)mod31 вычетом по модулю 17, 19. Для варианта 6: а=26.

1)		Проверка: , вычет
2)		Проверка: , вычет

Число 26 является вычетом по модулю 17 и по модулю19.

3. Решим уравнение

   1. р=23, а=8 для варианта 6.

Ответ: (13; -13).

2. р=29, а=9 для варианта 6.

р = 29, а = 5 + 4 = 9

1) p - 1 = 2² ∙ 7

2) Символ Лежандра:

, решение есть.

3) Подберем b такое, что b²-4a – невычет. Пусть b=3.

b²-1 mod 29= 8, – невычет. - квадратичный невычет.

14 = 8 + 4 + 2

8²mod 29 =64 mod 29 = 6

8⁴mod 29 = 6∙ 6 mod 29= 7

8⁸mod 29 = 7 ∙ 7 mod 29 = 20

(3⁸ + 3⁴ + 3² )mod 29 = (20∙7∙6)mod 29 = 3220 mod 29 = -1

4) Искомый корень находим из уравнения

15 = 8 + 4 + 2 + 1

3¹mod 29 = 3

3²mod 29 = 9

3⁴mod 29 =9 ∙ 9mod 29 =(58+23) mod 29 = 23

3⁸mod 29 = 23∙23mod 29 =(522+7 )mod 29 =7

3¹⁵mod 29 = (3⁸ ∙ 3⁴ ∙ 3²∙ 3¹)mod 29 = (7 ∙ 23 ∙ 9 ∙ 3) mod 29 = 26

5) Проверка:

26² mod 29 = (667+9) mod 29 = 9

(-26)² mod 29 = 3² mod 29 = 9

Ответ: 26;-26 .

4. Решите уравнение

Для n=3 ∙ 7, a=16 (для варианта 6)

r(1;-1)

r(2;-2)

Получим 4 системы уравнений:

1)	3)
2)	4)

1. Решение 1-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙ m2 = 3∙ 7 = 21

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 3 3y₂ = 1 mod 7

y₁ = 1 y₂ = 5

x₀ = 7∙1∙1 + 3∙5∙2 = 37

x = x₀ mod M

x = 37 mod 21 = 16

2. Решение 2-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙m2 = 3∙7 = 21

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 3 3y₂ = 1 mod 7

y₁ = 1 y₂ = 5

x₀ = 7∙1∙ (-1) + 3∙5∙ (-2) = -37

x = x₀ mod M

x = -37 mod 21 = 5

3. Решение 3-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x = x₀ mod M, где М = m1∙ m2

M = m1∙m2 = 3∙7 = 21

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 3 3y₂ = 1 mod 7

y₁ = 1 y₂ = 5

x₀ = 7∙1∙1 + 3∙5∙ (-2) = -23

x = x₀ mod M

x = -23 mod 21 = 19

4. Решение 4-й системы уравнений:

Т.к. модули m1, m2 попарно взаимно простые, система уравнений имеет единственное решение: x=x₀ mod M, где М= m1∙ m2

M = m1∙m2 = 3∙7 = 21

x₀ = M₁y₁a₁ + M₂y₂a₂

M_iy_i = 1mod m_i

;

M₁y₁ = 1 mod m₁ M₂y₂ = 1 mod m₂

7y₁ = 1 mod 3 3y₂ = 1 mod 7

y₁ = 1 y₂ = 5

x₀ = 7∙1∙ (-1) + 3∙5∙2 = 23

x = x₀ mod M

x = 23 mod 21 = 2

Проверка:

x1: 16²mod21 = 256 mod 21 = 4

x2: 5²mod21 = 25 mod 21 = 4

x3: 19²mod21 = 361 mod 21 = 4

x4: 2²mod21 = 4 mod 21 = 4

Ответ: 𝒙𝟏 = 16; 𝒙𝟐 = 5; 𝒙𝟑 = 19; 𝒙𝟒 = 2;

Вывод:

В ходе выполнения данной лабораторной работы были закреплены знания, полученные на лекциях курса “Основы криптографии с открытым ключом“ по разделам: “Квадратичные вычеты” и “Генерирование и тестирование простых чисел”. Выполнены упражнения по нахождению доли простых чисел заданной разрядности и генерированию простых чисел при вероятностном тестировании. Найдены квадратичные вычеты по простому модулю и произведены вычисление квадратных корней из них.

Убедились в возможности быстрого тестирования многоразрядных простых чисел, а также быстрого нахождения квадратичных вычетов по простому модулю и вычисления для них квадратных корней.