Числовые ряды
Числовые ряды
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение вида a1 a2 ... an ... an |
(1) |
|
|
|
n 1 |
an |
|
называется числовым рядом, если множество |
||
|
образует последовательность, каждый член которой |
||
|
есть функция целочисленного аргумента, то есть |
||
|
n N |
an f (n) |
|
|
|
|
|
|
Числа a1, a2 ,..., an ,... |
называются членами ряда, |
|
|
а член an - общим или n-ым членом ряда |
|
|
|
|
|
|
Числовые ряды
1 1 |
1 |
|
1 |
... ( 1)n 1 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
... ( 1)n 1 1 |
|||||||||||||
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
n |
||
2 |
|
4 |
|
8 |
|
16 |
2 |
n |
|
|
2 |
n |
||
|
|
|
|
|
... n 1 |
|
|
|||||||
3 |
4 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|||||
5 |
6 |
n |
2 |
n 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Числовые ряды
Величина Sn a1 a2 ... an называется n-ой частичной суммой ряда (1).
Для ряда (1) можно построить последовательность n-ых частичных сумм Sn ,которая, как всякая последовательность, может быть сходящейся или расходящейся
S1 a1
S2 a1 a2
S3 a1 a2 a3
.......................
Sn a1 a2 ... an
Числовые ряды
Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел
последовательности его частичных
limS S
сумм, то естьn
n
S – сумма ряда
Ряд называется расходящимся, если |
|
lim Sn |
н |
n |
|
|
|
Числовые ряды
1. 0 0 0 0 ... 0 ...
Sn 0
limSn 0 ряд сходится и его сумма S=0
n
2. 1 1 1 1 ... 1 ...
Sn n
limSn ряд расходится
n
Геометрический ряд
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a aq aq2 |
... aqn 1 ... aqn 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(1 qn ) |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|||
При q 1 |
Sn |
|
|
сумма n членов |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрической прогрессии |
||||||||||||
|
|
|
q |
|
1 |
|
lim qn |
0 |
lim S |
n |
lim |
a(1 qn ) |
|
|
a |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
n |
1 q |
1 q |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд сходится |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
q |
|
1 |
lim qn |
lim S |
n |
ряд расходится |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический ряд
q 1 |
ряд примет вид a a a ... a ... |
|
lim Sn lim n a |
ряд расходится |
|
n |
n |
|
|
|
|
q 1 |
ряд примет вид a a a ... ( 1)n 1 a ... |
||||||||||
Sn 0, |
при n-четном; Sn a, при n-нечетном |
||||||||||
lim Sn |
|
не существует |
ряд расходится |
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
q |
|
1 |
|
S |
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ряд aqn 1 |
сходится и |
|
|
|||||
|
|
|
1 q |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
q |
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
ряд aqn 1 |
расходится |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные свойства рядов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ряды |
an |
и |
bn |
|
|
||
|
|
сходятся и их суммы |
|
||||
|
n 1 |
|
n 1 |
|
(an bn ) |
|
|
соответственно равны А и B, то и ряд |
, |
||||||
n 1 |
|||||||
представляющий сумму данных рядов также сходится и его сумма равна A+B
Пусть An a1 a2 ... an ; |
Bn b1 b2 ... bn |
lim An A |
lim Bn B |
n |
n |
Sn (a1 b1 ) (a2 b2 ) ... (an bn ) An Bn
Slim Sn lim( An Bn ) lim An lim Bn A B
n n n n
Основные свойства рядов
Если ряд an сходятся и имеет сумму S, то и ряд
|
n 1 |
kan |
, полученный умножением данного ряда на |
n 1 |
|
число k также сходится и имеет сумму kS
Пусть An a1 a2 ... an |
lim An S |
|
|
|
n |
Sn ka1 |
ka2 ... kan kAn |
|
S lim Sn lim kAn |
k lim An kS |
|
n |
n |
n |