Дульцев Форма орбіти та рух ШСЗ за законами Кеплера

приймає інтеграл енергії V 2 2 r h при різних ексцентриситетах е. Для цього використаємо рівняння зв’язку перших семи інтегралів (25), в якому враховуючи позначення (37), отримаємо

В еліптичному русі 0 e 1, тоді на основі (40) h 0 , і з інтегралу енергії виходить, що

V 2 2 r .

Це означає, що кінетична енергія руху супутника менша за його потенціальну енергію. Для окремого випадку, коли e 0 , із (40) маємо

Таким чином, при параболічному русі кінетична і потенціальна енергії супутника однакові. Для Землі це відбудеться при швидкості супутника то V = 11,2 км/с.

В теорії руху ШСЗ прийнято колову швидкість супутника називати першою космічною швидкістю, а параболічну – другою космічною швидкістю.

При гіперболічному русі e 1 і h 0 , тому

В цьому випадку визначальну роль відіграє кінетична енергія супутника, вона більша від потенціальної енергії.

Динамічний інтеграл. Всі, отримані вище, інтеграли (12), (18) і (23) не можуть бути загальним розв’язком системи диференціальних рівнянь незбуреного руху (6), тому що не містять час у явному виді. Інтеграл, який дає в явному виді залежність положення ШСЗ на орбіті від часу t отримаємо інтегруванням виразу для інтеграла площ (33), підставляючи туди рівняння орбітальної кривої (38), маємо

Інтеграл в лівій частині виразу (45) залежить від того, яке значення приймає ексцентриситет орбіти е.

Оскільки ШСЗ, як правило, має еліптичну орбіту 0 e 1, тому розглянемо тільки цей випадок. Для обчислення інтеграла (45) вводять нову змінну на основі тангенса половинного кута за формулою

Це рівняння називається рівнянням Кеплера. Воно зв’язує допоміжну змінну, якою є ексцентрична аномалія Е, середню аномалію М, момент проходження супутника через перигейі час t.

Згідно з формулою (49) середня аномалія М зростає прямо пропорціонально часові і визначає положення деякого фіктивного супутника, який рухається рівномірно по колу радіуса великої півосі а з періодом T, що дорівнює реальному. Реальний супутник рухається по еліпсу і відповідно з другим законом Кеплера має максимальну швидкість в перигеї і мінімальну в

Таким чином, n – середня кутова швидкість рухомої точки. В небесній механіці її називають середнім рухом.

Підставимо у формулу (51) замість n вираз (48) і після перетворень отримаємо

Ця формула відображає третій закон Кеплера, згідно з яким в еліптичному незбуреному русі відношення квадрата періоду Т обертання супутника по орбіті до куба її великої півосі а є величина стала для даної планети.

Рух ШСЗ за законами Кеплера є найпростішою моделлю орбітального руху супутника і називається кеплерівським або незбуреним рухом. Необхідною умовою виконання законів Кеплера є припущення, що Земля (центральне тіло) і супутник - це матеріальні точки з масами

рівними масам Землі і супутника відповідно. У цьому випадку супутник рухається під дією тільки двох сил - гравітаційного притягання Землі та прискорення супутника.

Зміст роботи

Згідно в зазначеним вище, за модель Землі приймаємо кулю з середнім радіусом R = 6371.1 км і геоцентричною гравітаційною сталою = 398600.5 км3/с2. Ці параметри є вихідними для розв’язування задач.

Задача 1. Побудувати схематично еліптичну орбіту та її проєкцію на небесну сферу за такими параметрами:

-довготою висхідного, вузла орбіти ;

-кутом нахилу орбіти і;

-аргументом перицентру

та показати положення супутника на орбіті коли, відома його істинна аномалія v.

Результатом цієї задачі є схематично побудований рисунок, на якому за даними свого варіанту (параметрами орбіти , і, і v) нанесені параметри орбіти подібно до рис. 1.

Задача 2. Для ШСЗ на коловій орбіті обчислити три з наступних чотирьох величин: радіус орбіти r, період T, лінійну швидкість супутника V, висоту орбіти H, якщо одна з цих величин відома. Виконати обчислення для таких трьох випадків:

а) відома висота орбіти H; б) заданий середній рух n;

в) відомий період орбіти T для випадку, коли ШСЗ має геоcтацioнарну орбіту.

Формули для розв’язку задачі.

Випадок а). Якщо відома висота орбіти H, то можна обчислити радіус колової орбіти r, оскільки відомий радіус R сферичної моделі Землі

За відомим радіусом орбіти отримаємо лінійну швидкість супутника за формулою (42)

V r .

Тут досліджуємо колову орбіту, тобто e 0 , значить велика піввісь а дорівнює радіусу орбіти r, а саме: a r . При такій умові застосуємо третій закон Кеплера

Звідси обчислимо період обертання супутника Т

За результатами обчислень необхідно зробити рисунок, на якому показати: Землю у вигляді сфери і колову орбіту ШСЗ. За одиницю масштабу прийняти радіус Землі R. Одиниця

масштабу вибирається довільно (2-3 клітинки зошита або 1-1,5 см). На рисунку позначити: радіус Землі R , радіус колової орбіти r і висоту орбіти H, наприклад:

s

H

r

O R

Випадок б). Дано середній рух n в обертах за добу. Тривалість доби 24 години або 86400 секунд. Виходячи з формули (51) запишемо

За відомим періодом T з третього закону Кеплера отримаємо велику піввісь орбіти

Так як орбіта колова, то r a , і тепер висота орбіти Н і лінійна швидкість ШСЗ обчисляться за відомими вже формулами

Випадок в). Формули і хід розв’язування цієї задачі такі ж, як і у попередній, за винятком першої формули, тому що період Т обертання ШСЗ нам вже відомий. Тільки одне застереження: перед обчисленням великої півосі орбіти супутника за формулою (55) необхідно

період Т руху ШСЗ, заданий в годинах, хвилинах і секундах T h m s , переобчислити в секунди T s , тобто T h m s T s . Далі обчислення виконуються за формулами (55) і (56).

За результатами обчислень необхідно зробити рисунок подібний до випадку а).

Задача 3. Для ШСЗ, який знаходиться на еліптичній орбіті необхідно обчислити: період Т, радіус-вектор супутника r, висоту H і лінійну швидкість ШСЗ в точкак периґею VП, апогею VА і в точці орбіти Vо із заданою дійсною аномалією v, якщо відомо велику піввісь орбіти а та ексцентриситет е.

НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ

ФОРМА ОРБІТИ ТА РУХ ШСЗ ЗА ЗАКОНАМИ КЕПЛЕРА

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання лабораторної роботи з курсу “Супутникова геодезія” для студентів основного напряму

“Геодезія, картографія та землевпорядкування”

Автори: Дульцев Анатолій Тихонович, канд.техн.наук, доц.

Цюпак Ігор Михайлович, канд.техн.наук, доц.

Янків-Вітковська Любов Миколаївна, канд.фіз.-мат.наук, доц.

Редактор

Комп’ютерне складання

Підписано до друку Формат 70 1001/16 . Папір офсетний.

Друк на різографі. Умови друк. арк. 16. Обл.-вид. арк. Наклад 50 прим. Зам.

Поліграфічний центр Видавництва Національного університету «Львівська політехніка»

Вул. Ф. Колесси, 2, 79000, Львів