Визначення параметрів трансформації двовимірних координат пунктів. Лабораторна робота

трудомісткий. Якщо ж визначники обчислювати за допомогою електронних таблиць Microsoft Excel, тоді робота зовсім спрощується. Для цього сформуємо такі матриці, як у формулах (28) - (30), в середовищі електронних таблиць Excel. Встановлюємо курсор у вільній комірці (клітинці), вибираємо функцію «МОПРЕД», виділяємо матрицю для визначника, спочатку позначеного через, і натискаємо клавішу «Enter», або комп’ютерною мишкою на клавішу «OK», що на екрані монітора, і отримане число буде шуканим визначником. Виконуючи описані дії послідовно для кожного з визначників ( с1, с2, pc, ps), отримаємо їх значення.

Тепер поправки до початкових значень параметрів трансформації обчисляться за формулами:

Розв’язування системи нормальних рівнянь способом оберненої матриці. Обчислення цим способом також краще виконувати на комп’ютері, можна скористатися програмою Microsoft Excel. Алгоритм запишемо у матричній формі і продовжимо з системи нормальних рівнянь, формули (25). Звідси вектор поправок до початкових значень параметрів трансформації обчислимо, як

Таким чином, систему нормальних рівнянь виду (10) або (25) можна розв’язати одним із цих способів.

3.3. Контроль розв’язку системи нормальних рівнянь

Як правило, перевірку правильності розв’язання системи рівнянь виконують підстановкою знайдених коренів системи у кожне рівняння і отримують тотожності. Визначені невідомі с1, с2, pc і ps, тобто вектор p з

11

формули (34), підставимо в систему нормальних рівнянь і повинні отримати нулі з точністю обчислень.

3.4. Обчислення остаточних значень параметрів трансформації

Рівняння похибок (6) або (22) розв’язуємо методом ітерацій (послідовних наближень) Ньютона, тому що вони є лінійним відображенням нелінійного процесу. Це означає, що для трансформації координат нами прийнята певна логічна модель з певною кількістю параметрів, а всі можливі інші параметри, наприклад похибки координат вихідних пунктів, не враховуємо. Тому отримані параметри з розв’язку такої системи рівнянь залежать, у деякій мірі, від «близькості» початкових значень шуканих параметрів. Звідси, остаточний результат можна отримати послідовно наближаючись до істинного значення кожний раз (на кожній ітерації) розв’язуючи задачу з новими початковими значеннями параметрів.

Таким чином, шукані параметри обчислимо так:

де c1(0) , c2(0) , pc(0) , ps(0) – початкові значення параметрів трансформації.

3.5. Оцінка точності

Середня квадратична похибка одиниці ваги дорівнює:

де n - кількість пунктів, k - кількість шуканих параметрів трансформації. Оцінку точності кожного параметра з номером j з вектора p обчислимо так:

12

4. Числовий приклад Увага!!! Кожний пункт роботи обчислений за іншими вихідними даними. Зробити рисунок 1.

4.2. Обчислення коефіцієнтів і вільних членів рівнянь похибок

Таблиця 3

4.3. Обчислення коефіцієнтів і вільних членів нормальних рівнянь

Таблиця 4

13

4.4. Розв’язування системи нормальних рівнянь способом Гаусса

Таблиця 5

-90602100,0 +881457102,2 +0,0000 -1923199767,5 +1132344765,3 =0,0000

4.6. Обчислення параметрів трансформації двовимірних координат пунктів

c1 c1(0) c1 = 0,0000 - 137,0152 = -137,0152 м , c2 c2(0) c2 = 0,0000 - 53,1608 = -53,1608 м ,

14

pc pc(0) pc = 0,0000 - 1,56577443 10-5 = -1,56577443 10-5 , ps ps(0) ps = 0,0000 - 2,09525180 10-5 = -2,09525180 10-5 ,

pc2 ps2 = 2,615670 10-5 ,

ps

arctg = 53,22936496 .

pc

4.7.Оцінка точності

Середня квадратична похибка одиниці ваги дорівнює:

Середні квадратичні похибки параметрів трансформації наступні: mc1 mc2 0,0940 621416,2756 74,067 м;

mpc mps 0,0940 2,03103 10 8 1,3 10 5 .

5.Література

1.Б. Гофманн-Велленгоф, Г. Ліхтенеггер, Д. Коллінз. Глобальна система визначення місцеположення (GPS). Теорія і практика.- Пер. з англ. під ред. Я.С.Яцківа.- Київ: Наук. думка, 1995.-380 с.

2.Маркузе Ю.И. Алгоритмы для уравнивания геодезических сетей на ЭВМ.- М.: Недра, 1989.- 248 с.

3.Цюпак І.М., Дульцев А.Т., Третяк К.Р., Савчук С.Г. Точність перетворення просторових координат пунктів //Сучасні досягнення геодезії, геодинаміки та геодезичного виробництва.- Львів, 2000.- С.

45-50.

4.Цюпак І.М., Я. Бойчук, В. Джаман. Визначення параметрів зв’язку між Державною та місцевою системами координат за допомогою GPS-вимірів//„Геоінформаційний моніторинг навколишнього середовища - GPS і GIS-технологій” (Збірник наукових праць ХІ міжнародного симпозіуму.- Алушта, вересень 2006 р.).- Львів, 2006.-

С. 36 – 39.

5.Цюпак І.М., Савчук С.Г., Бойчук Я.Д. Про точність двовимірного перетворення координат пунктів//“Геодезія, картографія і аерофотознімання”.- Міжвідомчий науково-технічний збірник.- Вип.68.- Львів:НУ ”Львівська політехніка”.-2007.- С.132-142.

15