7. Разложение в тригонометрический ряд функции, заданной в промежутке

Пусть функция задана в промежутке, гдеl ­­­­– произвольное положительное число, и удовлетворяет там условиям теоремы Дирихле из § 4.

Введем новую переменную по формуле:

. (1)

Из формулы (1) видно, что, когда переменная x, возрастает, пробегает промежуток , переменная, также возрастая, пробегает промежуток.

Обозначим через ту функцию, в которую преобразуетсяпри замене переменной по формуле (1), то есть положим. (2)

Функция определена в промежуткеи удовлетворяет в нем условиям Дирихле, так как замена переменнойx новой переменной, связанной линейно с x (см. (1)), не может привести к нарушению требований теоремы Дирихле.

В соответствии с утверждением теоремы Дирихле разложим функцию вв ряд Фурье:

(3)

где ,иопределятся по обычным формулам:

, ,(4)

Вернемся теперь от переменной обратно к переменнойx; из (1) находим и подставляем это выражениев (3).

Тогда получаем, используя (2):

, (5)

где .

Формулы (4) для коэффициентов принимают следующий вид:

(6)

На разложение вида (5) можно перенести результаты, изложенные в §3, 5 и 6. Так, например, при разложении функции вв ряд по синусам получаем:

(7)

где

(8)

Пример. Разложим в тригонометрический ряд в промежутке функцию

(9)

Эта функция непрерывная и нечетная в промежутке ; её график изображен на рисунке 118. Действительно, если во второй строчке формулы (9) заменитьx на –x, то получим , то есть получим выражение, только знаком отличающееся от того выражения, которым функция задана на. Функция (9)удовлетворяет условиям теоремы Дирихле в. Следовательно ее можно разложить в ряд, причем получим (см. (7) и (8)):

n=(0, 1, 2, 3, …) и .

Вычисляя этот интеграл, находим:

(10)

Значение функции (9) при равно нулю, и значения суммы ряда с коэффициентами (10) также равны нулю:. Таким образом, разложение

справедливо в промежутке .

Пример

№1Разложить в тригонометрический ряд

№2

на ,

25