4. Особенности ряда фурье четной и нечетной функций

1. Пусть функция f(х) задана на и четная.

Проверим, что в этом случае коэффициенты Фурье b_n функции f(х) равны нулю. Так как f(х) – четная функция, то произведение f(х)sin nx – нечетная функция (см. том I, гл. II, § 3), и в силу свойства интеграла от нечетной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно сказать, что

, то есть (1)

Формулам для коэффициентов можно придать несколько иной вид. Действительно, произведениеf(х)cos nx – четная функция и по свойству интеграла от четной функции по промежутку, симметричному относительно нуля, можно написать (см. предыдущую ссылку):

Итак, ,(2)

Таким образом, ряд Фурье, соответствующий четной функции, содержит только члены с косинусом и свободный член:

~

2. Пусть функция f(х) задана на и нечетная.

Используя рассуждения, аналогичные приведенным выше, можно показать, что в этом случае

(3)

(4)

и поэтому нечетной функции соответствует ряд Фурье, содержащий только члены с синусами:

~

5. Сходимость ряда фурье

Соотношение (2) из § 2 оставляет открытым вопрос о том, сходится ли ряд Фурье функции f(х) в , и, если сходится, то к какой функции он сходится: к функции f(х), породившей этот ряд, или к какой-либо другой функции?

Аналогичный вопрос ставился и в гл. XXII при рассмотрении ряда Тейлора функции f(х). Там были даны условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ряд Тейлора функции f(х) сходился в именно к самой этой функции. Поскольку не всякая бесконечно-дифференцируемая функция, то есть такая функция, которой можно поставить в соответствие ее ряд Тейлора, удовлетворяет этим условиям, то и не всякий ряд Тейлора сходится к той функции, для которой он составлен.

Для сходимости ряда Фурье во всех точках промежутка и для того, чтобы сумма ряда Фурье во всем промежутке, за исключением лишь конечного числа точек, совпадала с функцией f(х), породившей этот ряд Фурье, оказываются достаточными, например, следующие условия, наложенные на функцию f(х):

Т е о р е м а (Дирихле). Если функция f(х) такова, что

1) f(х) имеет в разве лишь конечное число точек разрыва первого рода,

2) f(х) имеет конечный правосторонний предел в точке и конечный левосторонний предел в точке,

3) промежуток можно разбить на конечное число частей, внутри каждой из которой f(х) изменяется монотонно,

то ряд Фурье функции f(х) сходится в промежутке , причем его сумма

а) равна числу ,(1)

если ,

б) равна числу ,(2)

при и при.

Доказательство этой теоремы мы не приводим, так как оно требует довольно длительных и сложных рассуждений.

Замечание 1. Из а) следует, что сумма ряда Фурье во всякой точке , в которой f(х) непрерывна, равна числу . Действительно, еслиf(х) непрерывна в точке х_0, то и значение выражения (1) совпадает со значением. Следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функциейвсюду, гденепрерывна.

Замечание 2. Так как члены ряда Фурье являются периодическими функциями с периодом (как было указано в § 1), то из теоремы Дирихле следует, что ряд Фурье при указанных условиях сходится на всей оси.

Замечание 3. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, сама является периодической функцией с периодом(и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле), то утверждения а), б) и в) этой теоремы справедливы не только в промежутке , но и в любом промежутке , где

Таким образом, в любой точке числовой оси, отличной от, сумма ряда Фурье равна значению выражения (1) (еслинепрерывна в точке, то значение (1) совпадает с); в точках видасумма ряда Фурье равна значению выражения (2).

Замечание 4. Если функция , для которой составляется ряд Фурье, задана на всей оси и непериодическая, то за пределами промежутка утверждения теоремы Дирихле уже не имеют места. Непериодическая функция и периодическая функция – сумма ряда Фурье – не имеют ничего общего за пределами промежутка . Это наглядно можно проследить на рассматриваемых ниже примерах (см. рис. 112 и 113).

Пример 1. Рассмотрим функцию . Она нечетная и, очевидно, удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см. формулы (3) и (4) из § 3):,

Так как функция непрерывна в , то сумма ряда Фурье совпадает с в , то есть можно написать, используя найденные коэффициенты Фурье:

(3)

причем это равенство справедливо для . В точкахсумма ряда Фурье по теореме Дирихле определяется выражением (2):

Впрочем, непосредственно видно, что все члены ряда (3) равны нулю при , и поэтому сумма ряда равна нулю.

Таким образом, в этих двух точках значения суммы ряда Фурье не совпадают со значениями функции . Вне промежутка сумма ряда Фурье дает периодическое продолжение своего графика в , что на рисунке 112 отмечено пунктирными линиями; график же функции продолжен вне сплошной линией, и видно, что эти два графика, совпадающие в , не имеют ни одной общей точки вне .

Пример 2. Рассмотрим функцию . Она четная и удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Вычислим ее коэффициенты Фурье (см. формулы (1) и (2) из § 3):

; ;

(при вычислении второго слагаемого в квадратных скобках был использован результат вычислений из примера 1).

Так как функция непрерывна в , то сумма ряда Фурье совпадает с ней во всех точках . Вычислим значение выражения (2):

Оно совпадает со значениями функции в точках, и, следовательно, сумма ряда Фурье совпадает с функциейдля всех:

(4)

Вне промежутка сумма ряда Фурье и функция и на этот раз не имеют ничего общего (см. рис.113, на котором график функциипомечен сплошной линией, а график суммы ряда Фурье вне – пунктирной линией).

Замечание. Разложение (4) можно использовать для нахождения сумм некоторых числовых рядов.

а) Положим в (4) ; тогда получим:

, или , откуда находим:

, то есть (5)

б) Положим теперь в (4) , тогда

Отсюда находим сумму следующего числового ряда:

, то есть (6)

в) Очевидно, что

Отсюда, используя (5), находим:

, то есть (7)

г) Непосредственно из (5) получаем:

, то есть

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке следующим образом:

(8)

Эта функция непрерывна и монотонно возрастает (в широком смысле слова) в . Следовательно, по теореме Дирихле она разлагается в ряд Фурье в . Найдем ее коэффициенты Фурье по формулам (1) из § 2. Вследствие того что функция задана разными формулами наи, приходится для вычисления интегралов по разбивать их на два интеграла – по и по:

;

(отсюда видно, что при четныхп и при нечетныхп);

(см. выкладки из примера 1).

Найдем значение выражения (2):

Это число не совпадает со значениями функции в точках(см.(8)), следовательно, равенство

(9)

справедливо только для . На рисунке 114 изображен график суммы ряда Фурье для функции (8).

На этом примере видно, что функция, которая в двух разных половинах промежутка задавалась двумя разными аналитическими выражениями, может представляться во всем единым тригонометрическим рядом (9). Аналогичные факты можно проследить и дальше в § 5 и 6 и в упражнениях к § 4,5.

Пример:

Функция -нечётная, на.Вычислим её коэффициенты Фурье:

Сумма ряда равна 0. Таким образом, в точках значение суммы ряда Фурье не совпадают со значениями функции.