3. Ряд фурье

Ранее было введено понятие ряда Тейлора. Так был назван специальный ряд, коэффициенты которого вычислялись по определенному правилу с помощью некоторой заданной функции f(х). Таким образом, каждой бесконечно дифференцируемой функции ставился в соответствие ее ряд Тейлора.

Изучая тригонометрические ряды, можно пойти по такому же пути. Возьмем некоторую функцию f(х), определенную в (а может быть, и в большем промежутке или даже на всей числовой оси), и составим с ее помощью следующие числа:

, ,(1)

О п р е д е л е н и е. Тригонометрический ряд, коэффициентами которого служат числа (1), называется рядом Фурье функции f(х), а сами числа (1) называются коэффициентами Фурье функции f(х).

Для того чтобы можно было вычислить коэффициенты Фурье, нужно, очевидно, предположить, что функция f(х) интегрируема в .

Итак, каждой функции f(х), интегрируемой в , можно поставить в соответствие ее ряд Фурье:

f(х)~ (2)

Докажем предварительно следующее утверждение, относящееся к любому функциональному ряду.

Л е м м а. Если функциональный ряд сходится равномерно ви– некоторая ограниченная вфункция, то рядтакже равномерно сходится в.

Доказательство. Тот факт, что данный ряд равномерно сходится в означает следующее: для всякого ε>0 найдется номер N такой, что неравенство <ε справедливо для всякого n N и для любого

Так как по условию ограничена в , то существует число М>0 такое, что<М для всех .

Возьмем любое ε>0. Найдем по определению равномерной сходимости ряда номер N такой, что <для всех. Известно, что во всяком сходящемся ряде множитель, общий для всех членов ряда, можно «выносить за скобку». Поэтому справедливо следующее равенство:

Теперь, используя предыдущее неравенство, получаем:

Итак, <дляn N и для всех . Ввиду произвольности

это и означает, что ряд равномерно сходится в .

Т е о р е м а. Если функция f(х) разлагается на в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот тригонометрический ряд есть ее ряд Фурье.

Доказательство. Пусть для

(3)

и ряд сходится равномерно в . Проинтегрируем обе части равенства (3) в . При вычислении интеграла от правой части можно по условию теоремы проинтегрировать ряд почленно:

По теореме из § 1 (свойство ортогональности системы тригонометрических

функций) интегралы под знаком суммы равны нулю, и, таким образом, получаем:

,

откуда , то есть(см. формулу (1)).

Теперь умножим обе части равенства (3) на cos nx, где п – любое натуральное число, и проинтегрируем опять в . Умножение всех членов равномерно сходящегося ряда на ограниченный множитель cos nx в силу леммы не нарушает равномерной сходимости ряда, и ряд в правой части (3) можно опять интегрировать почленно:

(4)

В силу теоремы из § 1 интеграл в первом слагаемом равен нулю, первый из интегралов в скобках равен нулю при nm, а второй – всегда равен нулю. Следовательно, из всего ряда в правой части (4) остается только слагаемое с номером n=m:

(см. конец доказательства теоремы из § 1).

Таким образом, равенство (4) принимает вид:, откуда

, то есть (см.(1)).

Таким же образом, умножая обе части равенства (3) на sin nx и интегрируя почленно, получаем, что .

Итак, коэффициенты тригонометрического ряда (3) совпадают с коэффициентами Фурье функции f(х), то есть ряд (3), действительно, является рядом Фурье функции f(х)