Конспект до теми 3. (Основи теорії руху ШСЗ)
.pdf
1.ОСНОВИ ТЕОРІЇ РУХУ ШСЗ
1.1.Незбурений рух ШСЗ
Рух ШСЗ у просторі визначається діючими на нього силами, основною з яких є гравітаційне поле Землі. Другорядними силами є притягання Місяця,
Сонця та планет сонячної системи а також опір атмосфери, тиск сонячних променів, магнітне поле Землі, релятивіські ефекти. Реальна орбіта ШСЗ має складну траєкторію, яка постійно змінюється у часі. У першому наближенні рух ШСЗ описується законами Кеплера. При цьому необхідно Земну кулю прийняти за матеріальну точку з масою рівною масі Землі і враховувати виключно притягання Землі. Вплив інших збурюючих орбіту ШСЗ сил повністю виключається. Орбіти у залежності від заданого початкового прискорення ШСЗ поділяють на колові, еліптичні та гіперболічні. Геодезичні супутники рухаються по еліптичних орбітах, або колових, які можна розглядати, як частковий випадок еліптичної орбіти. На незбуреній еліптичній орбіті ШСЗ рухається по траєкторії, яка описується еліпсом і в одному із його фокусів знаходиться центр мас Землі. Основними точками еліптичної орбіти є перигей і апогей – найближча і найвіддаленіша точки орбіти до фокуса.
Згідно третього закону Кеплера період обертання супутника навколо Землі.
T = 2 |
a3 |
|
(1) |
|
|
||||
|
|
|||
де – гравітаційна стала Землі рівна 3986005·10-8 м3·с-2, a |
– велика піввісь |
|||
орбіти. Незбурений рух ШСЗ описують шістьма елементами орбіти, які відтворюють положення орбіти у просторі її форму та розташування ШСЗ на ній (рис. 5). Впровадження елементів орбіти є зручним для обчислення координат ШСЗ у будь-який момент часу.
1
Рис. 5. Параметри орбіти ШСЗ
На рис 5. представлено чотири кутові елементи орбіти це довгота висхідного вузла , яка визначається, як кут у площині екватора між точкою весняного рівнодення і точкою перетину екватора і площини орбіти, кут нахилу орбіти i утворений площиною екватора і площиною орбіти, аргумент перицентру – це кут у площині орбіти між напрямком на точку висхідного вузла і точку перигею, істинна аномалія v – це кут між напрямком на точку перигею і ШСЗ. Кутові елементи описують розташування орбіти у просторі і положення ШСЗ на ній. Наступні два елементи описують форму орбіти це
e = a2 −2 b2 – ексцентриситет орбіти і велика піввісь a , або велика і мала півосі
a
a,b . Радіус вектор супутника r є функцією r(a, e, v) .
Оскільки під дією збурюючих сил елементи орбіти зазнають постійних змін, то вводять початкові елементи орбіти на певну епоху t0 ( 0 ,io , 0 ,v0 ,a0 ,e0 ).
Крім представлених шести елементів орбіти вживають наступні похідні
параметри це середній рух ШСЗ n = |
|
|
|
, аргумент широти |
u = + v , |
– час |
|
a3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
проходження ШСЗ точки перигею, Середня аномалія M = n(t − ) , де t |
– епоха |
||||||
визначення положення ШСЗ, або M = M0 + n(t − t0 ) , ексцентрична аномалія E ,
2
яка визначається із розв’язку рівняння Кеплера E − e sinE = M . Це рівняння розв’язується методом наближень. У першому наближенні E0 = M 0 . Дальше послідовно виконуються наступні ітерації:
E (1) = M 0 + e sinE (0) E (2) = M 0 + e sinE (1)
...............................
E (n) = M 0 + e sinE (n−1) .
Радіус вектор супутника r та істинна аномалія наступними виразами:
r = a(1− e cos E) , r = |
|
|
|
p |
, |
|||||
|
|
|
||||||||
1+ ecosv |
||||||||||
де p = a(1 − e2 ) – фокальний параметр. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v |
|
1+ e |
|
|
|
E |
|
|||
tg |
|
= |
|
tg |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
1− e |
|
|
|
2 |
|
|||
Просторові координати ШСЗ у інерціальній визначаються за залежностями:
x = r(cosu cos −sin u sin cosi) y = r(cosu sin + sin u cos cosi) z = r(sin u sin i)
(2)
v визначаються за
(3)
(4)
системі координат
(5)
їх похідні за часом
•
x =
+ (1 +
•
y =
+ (1 +
•
z =
|
[e sin v(cosu cos − sin u sin cosi) + |
|
p |
|
|
e cosv)(−sin u cos − cosu sin cosi)]; |
|
|
|
|
|
|
[e sin v(cosu sin + sin u cos cosi) + |
(6) |
p |
|
|
e cosv)(−sin u sin + cosu cos cosi)]; |
|
|
|
[e sin v sin u sin i + (1 + e cosv) cosu sin i]. |
|
p |
|
|
1.2.Збурення орбіти ШСЗ
Відхилення траєкторії руху ШСЗ від кеплерової орбіти називається збуренням орбіти. Збурення на певний момент часу можуть визначатися, як різниці в положенні ШСЗ при незбуреному та збуреному русі, або обчисленням оскулюючої орбіти.
3
Оскулюючою називається орбіта, елементи якої визначені на даний момент часу по відомому положення ШСЗ в просторі та вектору швидкості його руху.
Метод її розрахунку був розроблений Ейлером в 1756 р.
Зміни елементів орбіти відбуваються безперервно, і кожному моменту часу відповідає своя оскулююча орбіта. Якщо задатись допустимими похибками у визначенні елементів орбіти, викликаними збурюючими факторами, то можна стверджувати, що у певний період часу ШСЗ буде рухатись по оскулюючій (незбуреній) орбіті.
Всі збурення по своєму характеру впливу на траєкторію руху ШСЗ поділяються на періодичні та вікові.
Вікові збурення характеризуються безперервним збільшенням і зменшенням оскулюючих елементів орбіти. Періодичні збурення викликають коливання величин оскулюючих елементів навколо середнього значення.
Періодичні збурення із великим періодом (сотні років) називають
довгоперіодичними. Основними збурюючими силами для орбіт ГНСС-
супутників є:
•гравітація Землі, Місяця, Сонця і планет;
•тиск світла від Сонця і Землі;
•релятивіські ефекти та вплив атмосфери і магнітного поля Землі.
Для розрахунку координат ГНСС-супутників враховується вплив збурюючих факторів, які екстраполюються головною контрольною станцією і передаються із супутниковим сигналом разом із оскулюючими елементами орбіти у виді швидкості їх змін.
1.3.Обчислення положення ГНСС-супутників у топоцентричній системі
координат.
Оскулюючі елементи орбіти супутників та їх зміни у часі містяться в навігаційному файлі, який передається із супутниковим сигналом. У
навігаційному файлі оскулюючі елементи орбіти записані два рази, у виді альманаху (ефемериди низької точності) і робочих ефемерид (вищої точності).
Альманах призначений для визначення видимості супутників при плануванні
4
ГНСС-вимірів. Робочі ефемериди призначені для опрацювання результатів вимірів.
|
Для розрахунку умов видимості супутників спочатку обчислюється |
|||||||||||
середній рух i -го супутника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ni |
= |
|
|
|
. |
|
(7) |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Далі обчислюється різниця епох спостережень і епохи утворення |
|||||||||||
альманаху від початку ГНСС-тижня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ti = (ti −toe ) 1+ mt + (ti −toe ) mt , |
|
(8) |
|||||||
де ti |
- |
час спостережень. При цьому, як що час спостережень ti 302400c , то |
||||||||||
від ti треба відняти 604800 с, а якщо ti |
302400c , то до ti треба додати 604800 с. |
|||||||||||
|
Обчислюємо середню аномалію в момент ti . |
|
|
|||||||||
|
|
|
Mi = M 0 + ni |
Ti , |
|
(9) |
||||||
|
За |
рекурентною залежністю |
(7) |
|
визначаємо |
ексцентричну |
аномалію |
|||||
Ek +1 |
= M i + ei sin Ek |
. Послідовні ітерації |
|
визначення |
ексцентричної |
аномалії |
||||||
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виконують до тих пір, поки різниця значень ексцентричної аномалії в останній та передостанній ітерації не буде менша від 10-6 рад.
Далі знаходимо істинну аномалію, аргумент широти, радіус-вектор супутника, прямокутні координати супутника в площині орбіти та редуковану довготу висхідного вузла орбіти за формулами:
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
e +1 |
ki |
|
|||||
|
|
|
|
|
, |
||||
vi |
|
|
tg |
|
|
||||
= 2arctg |
|
|
|
|
|
||||
|
|
1− e |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui = i + vi ,
r = a(1− ecos E) , xi = ri cosui , yi = ri sin ui ,
i = i + ( i − e ) Ti − etoe ,
де e = 7,2921151467 10−5 рад с – кутова швидкість обертання Землі.
Прямокутні просторові геоцентричні координати супутників
(10)
в системі
5
WGS-84 знаходимо за наступними залежностями:
xi |
= xi cos i |
− yi cos ii |
sin , |
|
yi |
= xi sin i |
+ yi cosii |
cos i , |
(11) |
zi = yi sin ii .
Прямокутні геодезичні координати пункту спостережень обчислюються за
формулами:
X = (N + H )cos B cos L , |
(12) |
||||
Y = (N + H )cos Bsin L , |
|
(13) |
|||
b |
|
|
|
||
Z = |
|
wgs84 |
N + H sin B |
, |
(14) |
|
|
||||
a |
wgs84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де N = |
|
|
awgs |
84 |
|
|
– радіус кривини першого вертикала, awgs84 , bwgs84 , ewgs84 |
– |
|
|
|
|
|
|
|||
1− e |
|
2 sin 2 |
|
|||||
|
wgs84 |
B |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
велика і мала півосі та перший ексцентриситет еліпсоїда WGS-84.
Координати супутників в топоцентричній системі координат:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ' |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yi' |
= D S − |
0 |
,. |
|
|
|
|
|
(15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z ' |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
− B |
0 |
− sin |
|
− B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
cos L |
sin L |
0 |
|
|
xi |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
де: |
D = |
− sin L |
cos L |
0 |
|
|
yi |
|
, |
|
S = |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
– |
матриці |
|||||
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
zi |
+ |
|
|
|
|
sin |
|
− B |
0 |
cos |
− B |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
розвороту топоцентричної |
систем координат |
відносно |
системи |
WGS-84; а |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ( |
|
|
|
) tgB − Z , |
|
|
|
|
X 2 + Y 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
X 2 + Y 2 |
R = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6