Математическая теория алгоритмов

Математическая теория алгоритмов была создана в 20-30 годы XX века такими учеными как Тьюринг, Пост, Черч, Марков, Гедель. Основной задачей МТА было доказательство существования алгоритма или его не существование для определенной задачи.

Возникновение МТА было обусловлено кризисом математики начала XX века. Кризис возник из-за обнаружения противоречий в теории множеств, которую в то время считали фундаментом математики. Эти противоречия назвали парадоксами.

1. Парадокс оценки каталогов (1899 г.). Каждая книга в библиотеке имеет цену, проставленную на её переплете. Каждая книга занесена в каталог. Оценка каталога производится следующим образом: определяется максимальная цена книги, из числа указанных в каталоге, и прибавляется 1. Это и будет цена каталога. Если обозначить цены указанных в каталоге книг через y₁, y₂, …, y_i, …, y_n, а цену каталога через х, то можно записать формулу для оценки каталога

Директор библиотеки, узнав о большом числе каталогов в его библиотеке, принял решение создать раздел всех каталогов. Новый каталог был довольно быстро составлен, а вот с определением его цены произошла заминка. Для определения этой цены каталогизатор поступил так: если

то при любом i имеем x ≥ l + у_i. Но одна из книг, указанных в каталоге, есть сам этот каталог; значит, его цена может быть подставлена в последнюю формулу, что даст неравенство x ≥ l + x.

2. Парадокс Рассела (открыт в 1902 г.). Введем некоторые определения: множество, не содержащее себя в качестве элемента, будем называть обычным, а множество, содержащее себя в качестве элемента, – необычным.

Парадоксальным является множество всех обычных и только обычных множеств. Чтобы в этом убедиться, проверим, является ли оно само обычным или необычным. Вначале предположим, что оно обычное. Но тогда, будучи множеством всех обычных множеств, оно содержит и себя. Следовательно, оно необычное. Предположив, что оно обычное, мы получили противоречие.

Проверим, является ли оно необычным. Если оно необычное, то, будучи множеством только обычных, оно себя в качестве элемента не содержит, а значит, является обычным. Опять противоречие.

3. Парадокс брадобрея.Парадокс Рассела можно сформулировать без привлечения понятия множества. Представим себе, что один из солдат оказался по профессии парикмахером. Узнав об этом, командир полка приказал ему брить всех тех и только тех, кто сам себя не бреет. Все было хорошо, пока не пришло время побрить самого себя. Оказалось, что побрить себя нельзя, так как приказано брить только тех, кто себя не бреет; не брить себя тоже нельзя, потому что приказано брить всех, кто себя не бреет.

Таким образом, парадоксальность математики требовала пересмотреть основы аксиоматических систем. Было обнаружено, что существуют проблемы неразрешимые, которые невозможно разрешить или опровергнуть в рамках существующих аксиоматических систем. Для проверки неразрешимости задач необходимо было доказать, что задача решается с помощью алгоритма или экстраалгоритма. Т.е. пред математиками встала задача существования (или несуществования) алгоритма решения задачи.

При построении теории алгоритмов были разработаны подходы:

1. алгебраический (путем рекурсивных и вычислительных функций),

2. формирование словарных функций,

3. построение воображаемых вычислительных машин.

При последнем подходе все алгоритмы сводили к действию воображаемой машины; во втором – к преобразованию слов; при первом подходе все алгоритмы сводятся к преобразованию чисел.

Всякое уточнение понятия алгоритма характеризуется следующими семью параметрами:

1. совокупность возможных исходных данных (алфавит исходных данных);

2. совокупность возможных результатов (алфавит результатов);

3. совокупность возможных промежуточных результатов (алфавит промежуточных результатов);

4. множество действий;

5. правило начала;

6. правило окончания;

7. правило определения расположения результата.

В качестве примеров уточнения понятия алгоритма мы рассмотрим Машину Тьюринга и нормальные алгоритмы Маркова.