Рекурсивные функции

Для ученых, которых интересуют лишь факты существования или несуществования алгоритмов, а не сами алгоритмы, вовсе не обязательно изучать именно алгоритмы. Достаточно найти такие объекты, которые существуют или не существуют в точности тогда же, когда и алгоритмы. Считают, что такими объектами являются рекурсивные функции. Покажем, как могут функции быть связанными с алгоритмами.

Как известно, величину w называют функцией, а величины х₁, х₂.....х_п – аргументами, или независимыми переменными, если известен закон, который для различных наборов конкретных значений величин x₁, x₂, . . ., х_п задает определенные значения величины w. При этом для каждого набора допускается одно-единственное значение функции. В частном случае функция может иметь одно независимое переменное (аргумент). Что за закон применяется для определения функции? Математика не накладывает никаких ограничений на него. Она допускает любой мыслимый закон. Но таким законом может быть некоторый алгоритм. В этом случае функцию называют вычислимой, так как имеется способ получения ее значений.

Определение 8.6. Рекурсивными функциями называют один частный класс вычислимых функций. Алгоритмы, являющиеся законами их задания, мы будем называть алгоритмами, сопутствующими рекурсивным функциям.

Имея в виду некоторую функцию, нужно различать три стороны: 1) ее имя (обозначающую ее букву), 2) ее (функциональную) запись, имеющую вид w=f(x₁, х₂ , …. , х_п), 3) ее значение. Буква, присутствующая в записи функции, называется функциональным знаком (кроме f в качестве функционального знака можно использовать и другие символы). Значение функции, отвечающее конкретным значениям аргументов, иногда обозначают строкой символов, которая получается из правой части функциональной записи, если имена независимых переменных заменить их значениями. Например, для функции, имеющей функциональную запись, указанную выше в п.2, ее значение, полученное при x₁ = 1, х₂ = 7,…., х_п = 105 можно обозначить f= (1, 7, …, 105).

Построение четко выделенного класса вычислимых функций сопряжено с рядом трудностей; для достижения такой цели нужны некоторые упрощающие соглашения. Поэтому вполне естественно ограничиться случаем, в котором и независимые переменные, и функции могут принимать только целые неотрицательные значения.

И в истории математики, и в жизни каждого математика наиболее ранними математическими занятиями были счет и вычисление количества, то есть, манипуляции с числами. Само слово «вычисление» на русском языке одного корня со словом «число». Поэтому наиболее убедительными и понятными представляются именно численные результаты, желательно, следовательно, уточнить понятие алгоритма прежде всего для работы с натуральными числами.

Предлагаемое рассмотрение включает выбор заведомо вычислимых простейших арифметических функций и заведомо реализуемых способов композиций этих функций так, чтобы построить класс вычислимых функций, не опираясь на интуитивные понятия.

Заметим, что первым препятствием на этом пути является неконструктивность, «актуальная бесконечность» натурального ряда чисел.