диОСК
.pdf
Определение напряжений
В соответствии с гипотезами Кирхгофа в законе Гука следует пренебречь
напряжениями σγ по сравнению с σα и σβ. Выражая из закона Гука напряжения и подставляя в полученные равенства выражения для деформаций, получаем:
σα = E [εα0 + µ εβ0 +γ (κα + µ κβ )], σβ = E [εβ0 + µ εα0 +γ (κβ + µ κα )],
ταβ = 12 E (1−µ) (γαβ0 +γ καβ )
|
|
|
|
E |
|
где |
E = |
||||
1−µ2 |
|||||
Так же, как и в теории пластин, напряжения линейно изменяются по толщине оболочки.
Погонные усилия и моменты
По аналогии с теорией пластин вводим понятие погонных усилий и моментов.
Учитывая связь погонных усилий и моментов с действующими напряжениями, 
рассмотренную в теме пластин и заменяя обозначения осей получаем:
h
Nα = ∫2 σα dγ,
−h2
h
Qα = ∫2 ταγ dγ,
−h2
h
Mα = ∫2 σα γ dγ,
−h2
h
Nβ = ∫2 σβ dγ,
−h2
h
Qβ = ∫2 τβγ dγ
−h2
h
M β = ∫2 σβ
−h2
h
Nαβ = ∫2 ταβ dγ,
−h2
|
h |
γ dγ, |
Mαβ = ∫2 ταβ γ dγ, |
|
−h |
|
2 |
Таким образом, в качестве основного элемента оболочки можно рассматривать элемент срединной поверхности, нагруженный усилиями и моментами, показанными на рисунке. Подставляя напряжения в соотношения для погонных усилий, получим
Nα = |
|
h (εα0 + µ εβ0 ), |
Nβ = |
|
h (εβ0 + µ εα0 ), |
Nαβ |
= |
h |
|
|
(1−µ) γαβ0 , |
|
E |
E |
E |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Mα = D (κα + µ κβ ), |
M β = D (κβ + µ κα ), |
Mαβ = |
D |
(1−µ) καβ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где D = |
E h3 |
- изгибная или цилиндрическая жесткость оболочки |
||||||||||
12 (1−µ2 ) |
||||||||||||
Усилия и моменты должны быть связаны уравнениями равновесия, которые могут быть получены непосредственно из рассмотрения равновесия элемента, показанного на рисунке
Поставляя усилия в уравнения равновесия получим:
|
∂(B N |
α |
) |
+ |
|
∂(A Nαβ ) |
− Nβ |
|
|
∂B |
|
+ Nαβ |
|
|
∂A |
+ |
A B |
Qα |
+ A B qα = 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
∂α |
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
∂β |
|
|
R |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂(A N |
|
|
) |
|
|
|
|
∂(B N |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
β |
|
|
|
|
αβ |
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− Nα |
|
|
|
A |
|
|
+ Nαβ |
|
|
B |
|
|
+ |
|
|
|
|
Qβ |
+ A B qβ = 0, |
|||||||||||||||||||||||
∂β |
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
∂β |
∂α |
|
|
|
R |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∂(B Q |
|
) |
|
|
|
|
∂(A Qβ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
+ |
− N |
|
|
A B |
|
− N |
|
|
|
A B |
+ A B q = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
γ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∂(B M |
α |
) |
+ |
|
∂(A Mαβ ) |
−M |
|
|
|
∂B |
+ M |
|
|
|
|
|
|
∂A |
− |
A B Q |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
αβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
∂α |
|
|
) |
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
∂(A M |
β |
|
|
|
∂(B M |
αβ |
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
−M |
α |
A |
+ Mαβ |
|
|
B |
− |
A B Qβ = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Уравнения
сил
Уравнения
моментов
где qα, qβ, qγ - поверхностные нагрузки, отнесенные к срединной поверхности
оболочки Полученные соотношения представляют собой исходную систему 19-ти
уравнений общей теории оболочек, которые включают девятнадцать неизвестных
функций переменных α, β: восемь усилий и моментов Nα, Nβ, Nαβ, Qα, Qβ, восемь
компонентов деформаций — εα0 , εβ0 , γαβ0 , ϑα , ϑβ , κα , κβ , καβ и три перемещения -
u, v, w.
При А=B=1 и α=х, β=y полученные уравнения преобразуются в уравнения теории пластин, рассмотренные ранее.
Согласно общей схеме решения задачи в перемещениях, система уравнений теории оболочек может быть сведена к трем уравнениям относительно
перемещений и, и, w. Для этого необходимо из двух уравнений моментов выразить перерезывающие силы
Qα =
Qβ =
1 |
|
|
∂(B M |
|
|
) |
|
|
∂(A Mαβ ) |
|
|
∂B |
|
|
∂A |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
α |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
−M β |
|
|
|
+ Mαβ |
|
|
|
|
, |
|||
A B |
∂α |
|
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
|
∂α |
∂β |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
∂(A M |
β |
) |
|
|
∂(B M |
αβ |
) |
|
|
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
−Mα |
|
A |
+ Mαβ |
|
B |
. |
|||||||||
|
|
|
∂β |
|
|
|
|
∂α |
|
|
|
∂β |
∂α |
|||||||||||||
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и подставить их в три уравнения сил. Выражая далее в полученных таким образом трех уравнениях усилия и моменты через перемещения, можно записать следующую систему:
L1uL2uL3u
u +
u +
u +
L1v L2v L3v
v +
v +
v +
L1w L2w L3w
w = qα ,
w = qβ ,
w = qγ .
Дифференциальные операторы Lij в общем случае имеют восьмой порядок дифференцирования и весьма громоздкую форму и здесь не приводятся.
Если в результате решения данной системы найдены перемещения u(α,β), v(α,β), w(α,β), то далее по формулам основных соотношений общей теории оболочек можно определить компоненты деформации, и с помощью соотношений связывающих деформации и погонные усилия и моменты — усилия и моменты.
Напряжения в оболочке определяются равенствами, аналогичными теории пластин
σα = |
N |
α |
+ |
12 |
M |
α |
γ, σβ = |
Nβ |
+ |
12 |
M β |
|
γ, |
ταβ = |
|
Nαβ |
+ |
12 Mαβ |
γ, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
h |
|
h3 |
|
|
h |
|
|
h3 |
|
|
|
h |
|
h3 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
6 Q |
|
|
2 |
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
6 Qβ |
|
|
2 |
|
h2 |
|
|
|
|
|||||||
ταγ = |
|
|
α |
|
γ |
− |
|
|
|
τβγ |
= |
|
|
|
|
|
γ |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
h |
|
|
4 |
, |
|
|
h |
|
|
4 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Данные формулы соответствуют наиболее распространенному случаю, когда на поверхностях оболочки отсутствуют касательные составляющие внешней нагрузки.
4.Граничные условия
Разрешающие уравнения общей теории оболочек имеют в совокупности восьмой порядок по переменным α и β. В каждой точке края оболочки необходимо записать
четыре граничных условия. Так, на крае оболочки α=const в общем случае должны быть заданы четыре граничных условия:
u или N , |
v или N , |
w или Q* |
, |
ϑ |
α |
или M |
α |
αβ |
α |
|
|
α |
В более общем случае (упругое закрепление) может быть задана линейная комбинация двух функций:
u = k N |
α |
, |
v = k |
2 |
N |
αβ |
, |
w = k |
3 |
Q* , |
ϑ = k |
4 |
M |
α |
1 |
|
|
|
|
|
α |
α |
|
На защемленном крае к условиям отсутствия прогиба и угла поворота необходимо добавить условия отсутствия тангенциальных перемещений срединной поверхности, т. е.
при
при
α=const u =v = w =ϑα =0
β=const u =v = w =ϑβ =0
Здесь углы поворота нормали к срединной поверхности ϑA и ϑВ определяются ранее полученными равенствами
ϑ = |
u |
− |
1 ∂w |
, ϑ |
|
= |
v |
− |
1 |
∂w |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R |
A ∂α |
|
R |
B |
||||||||
α |
|
|
β |
|
|
∂β |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Распространенным является так называемое скользящее шарнирное опирание (свободное опирание) края. Граничные условия при этом имеют вид:
при α =const v = w =0, Mα = Nα =0,
при β =const u = w =0, Mβ = Nβ =0.
Согласно данным зависимостям, например, край α=const может свободно перемещаться в направлении α (Nα=0) и закреплен от перемещений в направлении β (v=0). Если отсутствуют все тангенциальные перемещения, то условия Να=0 и Νβ=0 следует заменить соответственно на и=0 и v=0. Если же
край свободен в отношении тангенциальных перемещений, условия v=0 и и=0 заменяются на Nαβ=0 при α=const и β=const.
К условиям на свободном крае пластины необходимо добавить условия отсутствия тангенциальных усилий, т. е.:
при α =const Nα = Nαβ = Mα =Qα* =0, при β =const Nβ = Nαβ = Mβ =Qβ* =0.
Здесь Qα* и Qβ* — обобщенные перерезывающие силы, которые определяются равенствами, аналогичными теории пластин, т. е.
Q* = Q |
+ |
1 ∂Mαβ |
, |
Q* = Q |
+ |
1 ∂Mαβ |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
α α |
|
B ∂β |
|
β β |
|
A ∂α |
||||
|
|
|
|
|
||||||
Qα и Qβ выражаются через моменты ранее полученными соотношениями.
5. Полная энергия оболочки
Потенциальная энергия тонкой оболочки небольшой кривизны, имеет вид, аналогичный теории пластин:
|
|
h |
|
|
U = |
1 |
∫∫ |
∫2 |
(σα εα +σβ εβ +ταβ γαβ ) dγ A B dα dβ |
|
2 |
|
h |
|
|
|
|
−2 |
|
Подставляя деформации с помощью полученных ранее равенств и учитывая выражения для усилий и моментов, получим:
U = 12 ∫∫(Nα εα0 + Nβ εβ0 + Nαβ γαβ0 + Mα κα + M β κβ + Mαβ καβ ) A B dα dβ
Вариация работы внешних сил имеет вид
δA = ∫∫(qα δu +qβ δv +qγ δw) A B dα dβ
Полная энергия оболочки определяется общей формулой Э=U - А. Согласно принципу Лагранжа δЭ =δU −δA
6. Осесимметричная деформация цилиндрической оболочки
Рассмотрим достаточно простой и тем не менее важный для приложений пример
— на задачу об осесимметричном изгибе цилиндрической оболочки. Полученные результаты позволят также сделать некоторые важные выводы, которые будут использованы в дальнейшем.
Пусть тонкая круговая цилиндрическая оболочка постоянной толщины h нагружается нормальной нагрузкой (давлением qγ=p(α)) и касательной нагрузкой qα=q(α). Если действующие на торцах оболочки силы также не зависят от окружной координаты β, то как нагружение, так и напряженно-деформированное состояние оболочки будут осесимметричными. При этом v=0, а перемещения u, w и все усилия и моменты будут завиcеть только от осевой координаты α.
Согласно рисунку в принятой цилиндрической СК
ds2 = dα2 + R dβ2
т. е. А=1, В=R.
Кроме того, очевидно, что R1=∞ и R2=R.