Вычисление весового среднего

При неравноточных измерениях вероятнейшее значение измеряемой величины вычисляют по формуле весового среднего:

где - результаты измерений, имеющие соот­ветственно веса .

При этом веса можно вычислять как по величинам СКП (СКО) серий наблюдений, так и по величинам СКП (СКО) самих результатов измерений, полученных осреднением наблюдений. Переход в расчетных формулах весов от СКП (СКО) к СКП (СКО) или наоборот приводит к пропор­циональному изменению величин всех вычисляемых весов. Но отношения весов остаются неизменными.

Весовому среднему приписывается вес равный сумме весов измерений:

Задача 15. Исследуя точность работы секстана с авто­матической регистрацией отсчетов (СА), три наблюдателя одновременно секстанами различных типов взяли отсчеты высоты Солнца и после исправления отсчетов получили сле­дующие результаты (см. таблицу).

№ пп.	Тип секстана
	СА	СНО-М	СНО-Т
1
2
3
4
5
6

Вычислить вес измерения высоты Солнца каждым сек­станом и вероятнейшее значение высоты как весовое среднее.

Решение. 1. Используя формулы

найдем для каждой серии наблюдений вероятнейшее значе­ние высоты, СКП (СКО) одного наблюдения и СКП (СКО) изме­рения (см. таблицу).

Числовая характе-ристика	Тип секстана
	СА	СНО-М	СНО-Т

2.Вычислим веса измерений:

При получили

Примечание. Расчеты по формуле дают следующие результаты:

Если , то

Различие в весах объясняется округлением промежуточных результатов.

3. Вычислим вероятнейшее значение измеряемой высоты по формуле весового среднего:

Задача 16. С помощью судовых приемоиндикаторов (ПИ) RSN-1 и MX-1102 навигационной спутниковой системы получили координаты места судна:

По паспортным данным точность обсервованных коорди­нат характеризуется следующими величинами:

ПИ RSN-1 . . .

ПИ МХ 1102 . . .

Найти вероятнейшие значения обсервованных координат.

Решение. 1. Вычислим веса обсервованных координат:

Принимая =57 600, получим:

При =57 200 получим (округляя). Здесь при расчете весов, и взяты СКП (СКО) отшествий и . Однако и при вычислении весов постоянный множитель не повлияет на их отношения.

2. Вычислим вероятнейшие значения координат судна по формуле весового среднего:

Оценка точности неравноточных измерений

При оценке точности разновесных результатов измере­ний производится вычисление СКП (СКО) одного измерения обра­батываемой совместно группы результатов, а также вычи­сление СКП (СКО) весового среднего. И в том, и в другом случае удобно пользоваться СКП (СКО) того измерения, вес которого равен единице в сравнении с результатами остальных изме­рений группы.

В практических задачах СКП (СКО) рассчитывают по формуле:

(11)

Здесь - уклонение результатов измерений от весового среднего:

Как и при равноточных результатах, величину назы­вают вероятнейшей случайной погрешностью (ошибкой).

Величину часто именуют средней квадратической погрешностью (ошибкой) единицы веса. При этом необязательно, чтобы среди объединяемых в одну группу результатов измерении действительно был результат с весом, равным единице.

Средние квадратические погрешности (ошибки) остальных результатов группы находят по формуле:

(12)

СКП (СКО) весового среднего может быть вычислена по формуле:

Но если предварительно вычислена СКП (СКО) , то величину рассчитывают по формуле:

(13)

где величина численно равна весу весового среднего.

Задача 17. По данным задачи 15 произвести оценку точности результатов.

Решение. 1. Вычислим СКП (СКО) единицы веса, пользуясь формулой (11):

2. По формуле (12) вычислим СКП (СКО) результатов измере­нии высоты каждым секстаном:

3. Вычислим СКП (СКО) весового среднего по формуле (13):

Итак

Задача 18. По данным задачи 16 произвести оценку точности результатов.

Решение. 1. Вычислим СКП (СКО) :

2. Вычислим средние квадратические погрешности (ошибки) резуль­татов:

2. Вычислим СКП (СКО) весовых средних и:

При расчете весов неравноточных результатов взятую в квадрате СКП (СКО) единицы веса удобно использовать в качестве числового коэффициента. В таких случаях целесообразно выбирать величину равной экстремальной средней квадратической погрешности (ошибке) из известных СКП (СКО) совме­стно обрабатываемых результатов измерений.

Если то

Задача 19. На ходовых испытаниях различными мето­дами определили пройденное судном расстояние:

по створам — Si=(102±l,0) кб;

по РЛС — S₂=(105±0,5) кб;

по РНС — S₃=(104±l,2) кб.

Определить вероятнейшее значение пройденного судном расстояния и произвести оценку точности.

Решение. 1. Примем кб.

2. Вычислим веса измерений:

3. Найдем вес весового среднего:

4. Вычислим вероятнейшее значение пройденного рас­стояния:

5. Вычислим СКП (СКО) весового среднего:

Такие же результаты получим, приняв СКП (СКО) равной наибольшей средней квадратической погрешности (ошибке):

Тогда

и