Сборник_Ломоносов-2014_часть1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, x [0, ].

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Библиографический список

1. Большая Советская Энциклопедия / Н.К. Байбаков, В.Х. Василенко, А.П. Виноградов и др.; Гл. ред. А.М. Прохоров. – 3-е изд. – М.: Советская Энциклопедия, 1975. – Т. 22. – С. 137.

Об одном применении метода М. М. Лаврентьева для решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода

Серикбол М.С.

Преподаватель Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата

Политехнический институт г. Кызылорда, Казахстан makpal.serikbol@mail.ru

Метод М. М. Лаврентьева имеет большое значение для изучения и понимания численных методов решения обратных и некорректных задач.

Теорема (М. М. Лаврентьев). Пусть Q и F – сепарабельные гильбертовы пространства, и Q F , A – линейный, вполне непрерывный, положительный и самосопряженный оператор. Если в уравнении

Aq f

приближенно заданная правая часть fд не принадлежит A(M ) , можно попытаться заменить это уравнение близким к нему уравнением

бq Aq fд , б 0 , (1)

для которого задача будет корректной. Решение этого уравнения qбд существует и стремится

к точному решению qт

уравнения Aq f

при б 0 и при согласованном с б стремлении к

нулю ошибки д задания f .

Ниже мы докажем теорему что приближенное решение существует.

Следствие (М. М. Лаврентьев). Предположим, что для f F

существует qт , такое

что Aq

f . Тогда решение q

(бE A) 1 f уравнения бq Aq f , (существование

докажем ниже) будем считать приближенным решением уравнения Aq f . Если данные

известны с ошибкой, т.

е. вместо

f нам известен элемент fд , удовлетворяющий условию

f fд

д, то полагаем

qбд бЕ А 1 fд .

Уравнение

(1)

определяет

семейство

регуляризирующих

операторов

R бЕ А 1 , б 0.

операторов Rб б 0

Определение

(регуляризирующее

семейство).

Семейство

называется регуляризирующим для задачи Aq f , если:

1)для любого б 0 оператор Rб : F Q непрерывен;

2)для любого e 0 найдется б* 0 , такое, что при всех б 0,б* сQ Rб f , qm e,

другими словами, lim Rб f qm .

б 0

Рассмотрим теперь задачу с приближенными данными

Aq fд ,

в которой

f fд

д, а также регуляризированную задачу (1) представимо в виде ряда

fд,к

qбд

цк .

лк

к 1 б

Оценим теперь разность

qт qбд

qт qб

qт qбд

(2)

Первое слагаемое в правой части (2) стремится к нулю при

б 0.

Оценим

второе

слагаемое:

fк

fд,к

fk fд,к

бд

д,к

f f

k 1

б лк

к 1

б лк

к 1

Многие задачи математической физики приводят к линейным интегральным уравнениям. К уравнению Вольтерра первого рода приводит задача определения потенциальной энергии поля, в котором частица совершает колебательное движение, по известной зависимости периода колебаний частицы от ее энергии.

Библиографический список

1.Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск, 2009. – 458 c.

2.Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров. – Москва,

1982 г. – 609 с.

Об одном мультипликативном обобщении неравенства Харди

Темирханова А.М., Туктыбаева Б.Ж.

Старший преподаватель, магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан ainura-t@yandex.ru, balnur90_mkm@mail.ru

Пусть 1 p, s ,

q ,

J (a,b) ,

a b ,

( ),

v( ),

u( )

–

неотрицательные на J функции, Lp, (J )

весовое пространство функций с нормой

f (x) (x)

dx .

В работе исследуется весовое мультипликативное неравенство вида

1 ,

f 0,

(1)

q,u

s,v

где 0 1, H , K – интегральные операторы вида

Hf (x) f (t)dt

Kf (x) K (x, t) f (t)dt

(2)

K(x,t) ядро, удовлетворяющее условию:

K(x,t) 0

при

x t

K(x,t) K(x, z) при t z

(3)

Заметим, что при 1 из (1)

мы имеем обобщенное неравенство Харди

Hf q,u C f p, ,

которое хорошо изучено в [1]. Необходимое и достаточное условие выполнения неравенства

(1) при 1 p, s, q получено в работе [2].

При исследовании неравенства (1) мы предполагаем, что 1 ( ) Llocp (J ) . Положим

p b

(z) inf

v (x)K

( y)dy

(x, t)dx

a t z

Теорема. Пусть 0 1,

1 p, s ,

и функция K (x,t) удовлетворяет

условию (3). Тогда неравенство (1) выполнено тогда и только тогда, когда

		u(x)

D sup (z) sup

	z x b
z J

при этом, если C – наименьшая константа в (1), то C D .

Библиографический список

1.Opic B., Kufner A. Hardy type inequality. – New York: Pitman Research in Mathematics. – 1990. – 57 p.

2.Ойнаров Р. Мультипликативное обобщение неравенства Харди. – Алматы: Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики. – 1994. – 51 с.

Об одной аддитивной задаче, связанной со степенями

Тубалыков К.Е.

Студент Казахстанский филиал МГУ имени М.В.Ломоносова

г. Астана, Казахстан

Kairat1991@mail.ru

Аддитивные задачи со степенями отсылают нас к знаменитой проблеме Варинга. Эта

проблема решалась Д. Гильбертом,

Г.Х. Харди

Д. Литтлвудом, И.М. Виноградовым,

А.А. Карацубой, В.Н. Чубариковым.

В этой работе мы рассматриваем аддитивную задачу с фиксированным количеством

разных степеней с добавлением факториалов и показательных функций.

Пусть M N. Плотностью по Шнирельману множества M называется

lim inf

card (M [1, n]).

Автором получены следующие результаты.

Теорема. Пусть

r1 ,..., rk N, l, m N {0},

а s1 ,..., sm - натуральные числа, большие

единицы.

а) Если

...

1, то плотность множества чисел, представимых в виде

xr1

... xrk

y ! ... y

! s z1 ... s zm ,

где xk ,..., xk , y1 ,..., yl , z1 ,..., zm N,

равна 0.

б) Если

...

то для

любого c 0

существует бесконечно много чисел,

представимых в виде

xr1

... xrk

y ! ... y

! s z1 ... s zm ,

где xk ,..., xk , y1 ,..., yl , z1 ,..., zm N,

более чем с способами.

Замечание. В случае д 0

или m 0 слагаемые с xi или z j отсутствуют.

Библиографический список

1.Виноградов И.М. К вопросу о верхней границе для G(n) // Изв. АН СССР. Сер. мат. –

1959. - T. 23, № 5. - C. 637—642.

2.Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. - Мир, 1998. – 703 с.

3.Карацуба А.А. О функции G(n) в проблеме Варинга // Изв. РАН. Сер. мат.. – 1985. – Т. 49, № 5. – С. 935-947.

4.Чубариков В.Н. К проблеме Варинга-Гольдбаха // Доклады Академии наук. - 2009. - Т. 427, № 1. - С. 24-27.

Об одной краевой задаче для семейства систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Тулеубаева А.Р.

Магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан t.aigolek@mail.ru

На отрезке [0,T ] рассмотрим задачу

v A(x,t)v (x,t), t [0,T ], x [0, ], v Rn ,

v(x,0) v(x,T ), x [0, ].

Предположим, что заданные (n n) -матрица

A(x,t) (a

(x, t))n

i, j 1

(x, t)

непрерывны на

[0, ] [0,T ] и выполнено условие

aii (x, t)

aij (x, t)

(x, t), i 1, n,

i j

(1)

(2) n -вектор-функция

(3)

где (x,t) 0 0 - непрерывная на

0 const.

функция,

Rn , имеющая

Функция

v :

на

непрерывную

производную

по t

непрерывная по

x называется решением краевой задачи (1), (2),

если она удовлетворяет

системе (1) и условию (2) соответственно при всех (x, t)

0 .

Задача (1), (2) рассматривалась многими авторами. Обзор и библиографию можно

найти, например в [1], [2].

Для исследования данной задачи мы

применяем метод параметризации

[3],

[4].

Возьмем шаг h 0 : Nh T (N 1,2,...)

и произведем разбиение 0,T (r 1)h, rh . Пусть

r 1

– решения задачи (1), (2) на

[0, ] [(r 1)h, rh),

функция vr

- сужение v(x,t)

т.е.

и v(x, t) v

(x, t)

при (x, t)

r 1, N.

Тогда задачу (1), (2) можно переписать в виде

A(x,t)v

(x,t), (x,t)

, r 1, N,

(4)

v1 (x,0) lim vN

(x,t), x [0, ],

(5)

T 0

lim

vs (x, t) vs 1 (x, sh), x [0, ], s 1, N 1,

(6)

t sh 0

где (6) представляют собой условия непрерывности решения во внутренних линиях разбиения. Если v(x,t) - решение семейства краевых задач (1), (2), то система его сужений

{vr (x, t)} (r 1, N )

является решением семейства многоточечных краевых задач (4)–(6).

Наоборот, если система функций {vr (x, t)} (r 1, N )

решение задачи (4) – (6), то функция

v(x, t) vr (x, t)

v(x,t) ,

определяемая

равенствами

при

(x, t) r , r 1, N,

v(x,t) lim vN (x,t)

при

x [0, ] будет решением исходного семейства краевых задач (1),

t T

(2). Через r (x)

обозначим

значение

функции

vr (x,t)

при t (r 1)h и полагаем

(x,t) r

(x), (x,t) r . Тогда

vr (x,t) vr

A(x,t)vr

A(x,t) r (x) (x,t),

(x, (r 1)h) 0, (x, t) r , r 1, N,

(7)

1 (x) N (x) lim vN (x,t), x [0, ],

(8)

t T 0

	~
s (x)	~	(x,t) s 1 (x),	x [0, ],	s 1, N 1.	(9)
s (x)	lim vs	(x,t) s 1 (x),	x [0, ],	s 1, N 1.	(9)
	t sh 0

В отличие от (1), (2) задача (7)-(9) содержит задачу Коши (7) на промежутках длины h 0, которая эквивалентна семейству систем интегральных уравнений

~		t	~
	(x, t)			(x, ) A(x, ) (x) (x,
vr		A(x, )vr
	(r 1)h
Отсюда, определяя		выражения соответствующие lim
				t rh

) d ,	~
		, r 1, N.
	(x,t) r

~ подставляя их в (8), (9), vr (x,t),

получим систему линейных алгебраических уравнений относительно введенных функциональных параметров (x) C([0, ], RnN ) :

Q1 (x, h) (x) 1 (x, h) G1 (x, h, v ),

где (Nn Nn) матрица Q1 (x, h) , имеет вид

0...

[I DN

(x)]

I D (x)

0...

Q1 (x, h)

I D2 (x)

I...

. ... .

I DN 1 (x)

( N 1)h

(x,t)dt,

(x,t)dt,...,

(x,t)dt

(x,t)

( N 1)h

( N 2)h

( N 1)h

A(x, t)v

dt,

A(x, t)v dt,...,

A(x, t)v

G (x, t, v )

N 1

dt .

( N 1)h

( N 2)h

Основным результатом настоящей работы является

Теорема. Пусть в матрице A(x,t) выполнено условие диагонального преобладания (3). Тогда задача (1), (2) имеет единственное решение v* (x,t) и справедлива оценка

Библиографический список

1.Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Мир, 1990. - 512 с.

2.Самойленко А.М., Ронто Н.И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых задач. – Киев: Наук. думка. - 1985. - 224 с.

3.Джумабаев Д.С. Метод параметризации решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник АН КазССР. – 1988. - № 1. - С. 48-52.

4.Джумабаев Д.С. Признаки однозначной разрешимости линейной краевой задачи для

обыкновенного дифференциального уравнения // Ж.В.М. и М.Ф. – 1989. - Т. 29, № 1. -

С. 50-66.

Об одной краевой задаче для бигармонического уравнения

Хушнизаров Г.М.

Магистр Институт математики и математического моделирования

г. Алматы, Казахстан

h.galymzhan@gmail.com

круге

{

2 x2 x

R 2 }

рассмотрим

краевую

задачу

для

полигармонического уравнения. Найти решение уравнения

2u f (x),

x UR

(1)

удовлетворяющее условию

2 ,

(2)

R 0,

0 .

(3)

Общее решение уравнения (1) ищем в виде

u(x) u(x , x

) u

(x , x

) u (x , x

) (R r)2 u

(x , x

)

(4)

где u0 (x)

частное решение задачи Дирихле

2u0

f (x), u0

(5)

r R

а u1 (x) , u2 (x) – произвольные гармонические функций.

По теореме Альманси функция

, x2 ) u1 (x1

, x2 ) (R r)

u2 (x1 , x2 )

(6)

u (x) u(x1

является общим решением однородного бигармонического уравнении

2 ~

(7)

Поэтому формула (4) дает общее решение бигармонического уравнения в круге UR .

Удовлетворив функцию u(x) из (4)

условию

(2)-(3)

относительно

u1 (x) получим

однородную задачу Дирихле

0, u1

r R

2 .

(8)

r R

Отсюда в силу единственности решение задачи Коши для гармонического уравнение получим, что u1 (x) 0 .

Непосредственным вычислением из равенства (4) находим что
																			u0											0 ,
											u2		x		R										r R ,																				(9)
																																													(9)

											u2												u0							,		0 .													(10)
											u2
											r											r
																R													r R
														x		R													r R
Отметим что решение задачи (5) в работе построено в явном виде [1], [2]
											u0 (x) G(x1 , x2 , 1 , 2 ) f ( 1 , 2 )d																																		(11)
																	UR
здесь
	G(x , x		2	,		,	2	)		4,2	(x , x		2	,				1	,	2	) g1						(x , x				2	,		,	2	) g 2		(x , x	2	,		,	2	),	(12)
		1	2		1		2			4,2	1		2					1		2				4,2					1		2	1			2		4,2	1	2		1		2
где
										1	(x )2 (x )2 ln
		(x , x , , )								1																							(x )2 (x )2 ,
		(x , x , , )							8																								(x )2 (x )2 ,
	4,2	1	2		1		2		8		1					1						1						1						1		1		1		1
	4,2	1	2		1		2				1					1						1						1						1		1		1		1
												g1					(x , x , ,									2		)
														4,2					1 2				1			2
																					55

1	1				2														1			2													2					2								1				2
			2					2																	2																		2								2			2


																					2 R																		R					ln
8												x1					2				2 R							x2						2			2		R					ln
8	R				R										1						2												1				2											R					R


				1 1							2	2					2									1								2									2						2	2
				1 1								2														1					2												2						2


																													2 R																		R
				8																x1					2				2 R							x2						2				2	R
				8			R					R											1						2												1				2


																		2															2
		ln										1				2												2				2						2
														R																R		2						4,2 (x1 , x2 , 1 , 2 ) 0 .
						x1				2			2	R							x2					2			2	R					, g			4,2 (x1 , x2 , 1 , 2 ) 0 .
									1			2												1			2

Таким образом, задачи (1)-(3) эквивалентно сводиться к задаче Коши для

гармонической функции u2 (x)
u2	0,	(13)

r R ,

, 0 .

(14)

r R

Конформно отображая

w w(z) 1

i 2

круг

на полосу

0 2

1 задачу (13)-(14) сведем к задаче

(15)

u 0,

2 R u00,

u01

(16)

2 R

где

u00 u0

2 R ,

u01

2 R

Пользуясь методом спектрального разложение уравнений Лапласа с отклоняющимся

аргументами, предложенными в работе [3] задачу (15)-(16) решается методом разделение переменных.

Библиографический список

1.Кальменов Т.Ш., Кошанов Б.Д., Немченко М.Ю. Представление функции Грина задачи Дирихле для полигармонических уравнений в шаре // Доклады Академии Наук РАН. - 2008. - Т. 421, № 3. - С. 305-307.

2.Кальменов Т.Ш., Сураган Д. О новом методе построения функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 2012. –Т. 48, № 4. – C. 595-599.

3.Кальменов Т.Ш., Искакова У.А. Критерий сильной разрешимости смешанной задачи Коши для уравнения Лапласа // Доклады Академии Наук РАН. - 2007. - Т. 414, № 2. - С.

168-171.

Весовая оценка для оператора типа дробного интегрирования бесконечно малого порядка в q-анализе

Шаймардан С.

Докторант Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан cerikbol-87@yandexe.kz

Пусть 1 < p r < ,	>	1	,	u( ) весовая функция, т.е. функция неотрицательная в
Пусть 1 < p r < ,	>	p	,	u( ) весовая функция, т.е. функция неотрицательная в
		p
R = (0; ) .

Мы рассматриваем весовое неравенство следующей формы

u r0

	1				1
	r				p

r	dq x	C f		p	(x)dq x	,	f 0	(1)
(x) I q, f (x)
			0

где I q, f является оператором типа дробного q-интегрирования бесконечно малого порядка вида

x		x
Iq, f (x) = s 1	ln q	x	f (s)dq s.	(2)

		x s
0		x s
0
В случае q 1 в классическом анализе оператор (2)			называется	оператором дробного

интегрирования бесконечно малого поряд\ка, которое было рассмотрено в [1]. Положим

		1
		p
	H = sup x	p
	H = sup x
	x>0

[ x, )

Теорема. Пусть 1 < p r < ,	>	1	. Тогда неравенство (1) выполняется для
Теорема. Пусть 1 < p r < ,	>	p	. Тогда неравенство (1) выполняется для
		p
оператора (2) тогда и только тогда, когда H		< , кроме того,		H C , где C наименьшая
константа в (1).

Библиографический список

1. Abylaeva A.M., Omirbek M.Zh. Weighted estimate for integral operator with a logarithmic singularity // Izvestia, ser. fiziko-matem. - Almaty: NAN RK. – 2005. - No. 1. - P. 38-47. (in Russian).

Классическая однозначная разрешимость начально-краевой задачи для системы Стокса неоднородной жидкости

Шамшиденов К.К.

Студент Казахский национальный университет имени аль-Фараби

г. Алматы, Казахстан shamshydenov@mail.ru

Теоретическое исследование краевых задач для стационарных и нестационарных уравнений Навье-Стокса берет начало с знаменитых работ французского математика Ж. Лере. Многие математические вопросы теории уравнении Навье-Стокса однородной жидкости изложены и решены в трудах О.А. Ладыженской [1]. Важные проблемы теорий уравнений Навье-Стокса неоднородной жидкости освящены в монографии С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова [2]. Данная работа посвящена уравнениям Стокса

неоднородной вязкой несжимаемой жидкости, имеющее важные приложения при моделировании процессов эволюции соленых структур в коре земли и ряда других задач геофизики и нефтеразведки.

Рассмотрим в ограниченной области Rn (n 2) уравнения Стокса



p f 0
	в	QT ,	(1)
div 0
div 0

и уравнение для плотности среды

t ( ) 0 , в

(2)

с условием прилипания на границе и начальным условием

0 ,

(3)

t 0 в (x) ,

(4)

где Q [0,T ] , : Q R3

(или

R 2 ) векторное поле скорости,

p(x,t) - давление,

(x,t) : QT R - плотность жидкости,

- плотность внешних сил, t [0,T ] - время,

f (x, t)

через x (x , x

, x

) обозначается точка пространства R3

или ( R2 ).

достаточно гладкая

граница области , скажем, класса C 2 предполагается еѐ неподвижность.

Основным результатом работы являются доказательство глобальных теорем существования и единственности классического решения начально-краевой задачи.

Плоские течения идеальной жидкости под действием непотенциальных сил рассматривались значительно позднее В.И. Юдовичем [3] и Т. Като [4].

Проблема глобального существования решения уравнений Эйлера как наиболее сложной и важной задачей математической гидродинамики нерешенной до сих пор ставится в обзорных статьях В.И. Юдовича [3], [5].

Нами рассматриваемая система (1)-(2) подпадает классу уравнении, где содержится уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости. Поэтому разумно использовать теории и методы разработанные для уравнении Эйлера. В нашем случае, имеют место упрощения за счет оператора Стокса, краевая задача для которого имеет гладкое (классическое) решение, при достаточной гладкости границы и правой части.

Теорема 1. Пусть в трехмерной задаче (1)-(4) граница C1, , где 0 1, b(x) C1 ( ) . Тогда существует и причем единственное классическое решение задачи (1)-(4) на всей оси времени R .

Библиографический список

1.Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1970. – 288 с.

2.Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. – Новосибирск: Наука, 1983. – 315 с.

3.Юдович В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1963. – Т. 3, № 6. – С. 1032-1066.

4.Kato T. On classical solutions of the two – dimensional nonstationary Euler equations // Arch. Rational Mech. and Analysis. – 1967. –V. 25, № 3. – Р. 188-200.

5.Юдович В.И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область // Математический сборник. – 1964. – Т. 64, № 4. – С.

562-588.

n1 1 nm 1

Аналог теоремы Боаса для кратных тригонометрических рядов

Ыдырыс А.Ж.

Магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан aizhanyd@gmail.com

В работе рассматривается задача о связи интегрируемости функции в нуле с поведением ее коэффициентов Фурье по синусам в m – мерном пространстве. Введем для

начала основные определения.

} ,...,

Пусть

размерность

m 1,

n (n , n ,..., n ), {a

последовательность

n n1 1,...,nm 1

действительных чисел. Обозначим разность

i an an1 ,...,ni ,...,nm

an1 ,...,ni 1,...,nm .

,...,

Определение 1. Будем говорить, что последовательность {a

}n1 1,...,nm 1 монотонна,

если a

...

0 для любого n Nm .

m n

,...,

Определение 2. Будем говорить, что последовательность {a

}n1 1,...,nm 1 выпукла,

если

... 2 a

0 для любого n Nm .

Обозначим через (x)

следующий кратный ряд

(

) ... a

n j x j .

n1 1

nm 1

j 1

Тогда для кратного синус ряда вида

f (

) ... b

( f ) sin nj x j ,

n1 1

nm 1

j 1

		2	m
		2	...
где b		( f )
где b	n	( f )
			0	0

f (x) sin n j x j dx1...dxm , верны следующие теоремы:

j 1

,...,
Теорема 1. Пусть {an }n1 1,...,nm 1	монотонна и стремится к нулю по каждому

индексу отдельно. Если

Теорема 2. Пусть

f (

) (

) L(0; )m , то ряд ... a

( f ) сходится.

n1 1

nm 1

,...,

}n1 1,...,nm 1

выпукла и стремится к нулю по каждому индексу

отдельно. Если ряд ... a

( f ) сходится и

f (x) 0,

то f (x) (x) L(0; )m .

Библиографический список

1.Дьяченко М.И. Интегрируемость функций и коэффициенты Фурье // Вестник Московского университета. Серия математика и механика. – 1977. – № 4. – С. 18-27.

2.Попов А.Ю. Оценки сумм рядов по синусам с монотонными коэффициентами некоторых классов. // Математические заметки. – 2003. – № 6. – С. 877-888.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 246 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.11.2018135.17 Кб0сборник упражнений часть1.doc
#
29.04.2019190.46 Кб3сборник устных тем по страноведению.doc
#
01.07.20251.03 Mб1Сборник Экстренная психологическая помощь детям...doc
#
01.07.2025809.75 Кб0СБОРНИК_2016_Усл_по_СОВАМ_в.2.docx
#
23.12.2018546.82 Кб5Сборник_Заданий_СРС_КМП 3семестр 2011.doc
#
09.02.20154.59 Mб64Сборник_Ломоносов-2014_часть1.pdf
#
01.07.202515.63 Mб0Сборник_МУ_Техпроц.doc
#
11.11.201814.48 Mб8Сборочный чертеж ролика.doc
#
01.05.2025507.9 Кб0СБЫТ.doc
#
01.05.202576.29 Кб0Св.з 7.doc
#
27.11.2019610.3 Кб5СВ_КП_Электроника_01.doc