Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сборник_Ломоносов-2014_часть1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

4.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Регуляризация уравнения Гельфанда – Левитана методом установления

Абеева А.А.

Магистр Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата

г. Кызылорда, Казахстан shukimanka@mail.ru

В данной работе рассмотрены методы регуляризации уравнения Гельфанда-Левитана:

1.Метод простой итераций;

2.Метод установления.

Приведены результаты численных расчѐтов для интегрального уравнения ГельфандаЛевитана первого рода.

Несколько лет назад исполнилось 100 лет понятию о кванте и 75 лет уравнению Шредингера, определяющему волновую функцию и с ней – все свойства исследуемого объекта по заданному потенциалу. А чуть более полувека назад были получены уравнения для решения спектральных обратных задач (И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан, М.Г. Крейн, В.А. Марченко).

Это достойное гордости достижение отечественной математики принесло исследователям всѐ проникающее «математическое» зрение.

Дано уравнение:

Aq g, q Q, g G,

где A : Q G – непрерывный оператор; Q,G – гильбертовы пространства.

Будем рассматривать функционал:

J (q) Aq g, Aq g .

Градиент J / (q) функционала J (q) определяется по формуле:

J / (q) 2A* (Aq g) .

Так, как написано выше в уравнении неизвестная функция q(t) . Эту функцию определим методом простой итераций: (0,1/ A 2 )

qn 1 qn A* ( Aqn g),

и методом установления: берется некоторое значение решения этого дифференциального уравнения:

dq(t)	A* ( A		q(t) g	) J / q(t).
		h
dt	h

Имеем:

Aq : x f (t s)q(s)ds.

Тогда найдем A* ( Aq g ) в следующем виде:

( Aq g) f (t s)q(s)ds g(t);

x	x
A* ( Aq g)	f (t s)
x	x

f (t s)q(s)ds g(t) dt.

	x
	Aq(t) : f (t s)q(s)ds g(t) , (0 x ).
Для этого на отрезке	x	(h x ) , после чего
Для этого на отрезке	( x, x) вводилась равномерная сетка с шагом	(h x ) , после чего
Рассмотрим уравнения Гельфанда-Левитана первого рода:

интеграл в левой части уравнения приближался по формуле трапеций:

( (i 1)h f (x)dx h	fi fi 1	).
	2
ih

В результате решение задачи сводилось к решению системы линейных алгебраических уравнений Ay b , где A – матрица размера (2N 1) * (2N 1).

В представленной работе было рассмотрено уравнения Гельфанда-Левитана 1-го рода. Также были рассмотрены различные методы регуляризации этого уравнения, а именно: метод простой итераций и уставления. Выбор именно этих методов для исследования обьясняется их достаточно высокой эффективностью при решении задач. Были проведены численные эксперименты для построения решения уравнения.

Библиографический список

1.Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2008.

2.Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решение некорректных задач. – М.: Наука, 1988.

О свойствах сгруппированных рядов Фурье по некоторой ортогональной системе

Абикызы Г.

Магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан

Abikyzy89@gmail.com

Пусть				– фиксированная			строго возрастающая последовательность
	N k k 0
натуральных	чисел,	причем			N0 1 ,		– последовательность		неотрицательных
						an n 1
натуральных чисел,		обладающая свойством: для каждого натурального числа j конечная
		N j 1		невозрастает.
последовательность an n N
			j	1

Пусть	n n 1 –			ортонормированная система функций, определенных на [0,1] и
удовлетворяющая		условии:			для	произвольной		конечной	арифметической
последовательности e из				с шагом q верно:

						1
		(x)	B min	e	,
		(x)	B min	e	,
	k
k e						xq

Подобные системы функции (см. [1]) называются регулярными. Определим следующие суммы сгруппированных рядов:

N j 1

an n (x)

;

max

an n (x)

j 1

n N

j 1

N j 1 k m N j

n k

Далее будем использовать следующие обозначения:

V j ( N )

A(N )

an , где при всех j 1: V j (N) N j 1

min(N j

N j 1 , N) 1,

S(N ) an .

j 1:N j 1 N n N j 1

n 1

Теорема. Пусть 1 p ,

n n 1

–

ортонормированная

удовлетворяющая (1).

Если выполнены условия

S(N ) p

A(N ) p

N 2

N 1

то функции

f , f * Lp [0,1] и справедлива оценка

(1)

(2)

система,

f * (x)

1/ p

(S(N )) p 1/ p

( A(N )) p 1/ p

C B

N 1

В случае тригонометрических рядов данная теорема доказана в работе [2].

Библиографический список

1. Нурсултанов Е. Д. О коэффициентах кратных рядов Фурье из Lp -пространств // Известие

РАН. – 2000. – Т. 64, № 1. – С. 95–122.

2. Белов А. С. О свойствах суммы модулей членов сгрупированного тригонометрического ряда // Математический сборник. – 2012. Т. 203, № І6. – С. 35–62.

Некорректные задачи для бигармонического уравнения с дополнительными условиями

Айменова К.А.

Магистрант Казахский национальный университет имени аль-Фараби

г. Алматы, Казахстан kakozhan@mail.ru

Выражаю искреннюю признательность научным руководителям – д.ф.-м.н., профессору М.Т. Дженалиеву и к.ф.-м.н. К.Б. Иманбердиеву за постановку задачи, полезные

консультации и обсуждение излагаемых в работе результатов.

1. Постановка задачи. В области Q {x (0,2 ), y (0,1)}

рассматривается граничная

задача:

2u f (x, y),

{x (0,2 ), y (0,1)} Q ,

(1)

u(0, y) ux (0, y) 0,

u(2 , y) ux (2 , y) 0 ,

(2)

u(x,0) 0,uy (x,0) 1 (x),uyy (x,0) 0,uyy (x,1) 0 ,

(3)

u(x,1) U

, – выпуклое замкнутое множество из H 3 / 2 (0,2 ).

(4)

Предполагается, что выполнены условия:

~ 2

1/ 2

(0,2 ), H

3/ 2

(0,2 ) .

(5)

f (H

(Q)) , 1 H0

~ 2

(Q) u | u L2

(0,1; H0 (0,2 )),

L2 (Q) .

2. Задача оптимизации. Для решения этой задачи сформулируем в соответствие к

задаче (1)–(3) следующую регуляризованную оптимизационную задачу:

2u f (x, y) ,

(6)

u(0, y) ux (0, y) 0,

u(2 , y) ux (2 , y) 0 ,

(7)

u(x,0) 0, u(x,1) (x), uyy (x,0) 0,

uyy (x,1) 0,

(8)

и функционал оптимальности:

J (u, ) | u y (x,0) 1

(x) |2

dx | (x) |2

dx min.

(9)

U g

3. Условие оптимальности в терминах производной по направлению. Решение задачи

(6)–(8), (9) обозначим:

(x) arg min J ( ) .

U g

Согласно результатом работы [1], справедливо следующее:

Утверждение 1. (x) U g является функцией оптимального управления,только тогда, когда выполняется неравенство:

J ( ),

U g ,

т.е. выполняется:

[u y (x,0; ) 1 ]u y (x,0;

)[

]dx (x)[ ]dx 0,

U g . (10)

4. Сопряженная граничная задача. Введем сопряженную задачу:

	2
w 0, w(0, y) wx (0, y) 0,
		0,	w(x,1) 0, w		(x,0)
w(x,0)				yy

и рассмотрим следующее выражение:

w(2 , y) wx (2 , y) 0,					,	(11)
u	y	(x,0) , w	yy	(x,1) 0
		1

где ~

u (x,

				2 1				~
							2	~
				u (x, y) w(x, y) dxdy 0 ,
				0 0
							2	~
y) u(x, y; ) u(x, y; )							2	~
y) u(x, y; ) u(x, y; )					и u (x, y) 0 . Преобразуя это выражение, находим:
2 1 2 ~			2	~				2	2	~		1	2 1 ~		2
u		wdydx u					w \|0		dy u			w \|0	dx u		wdydx 0 .
u		wdydx u				x	w \|0		dy u		y	w \|0	dx u		wdydx 0 .
0	0	0				x			0		y		0	0
0	0	0							0				0	0

2			2 ~			2
wxxy	(x,1)[ (x)		(x)]dx u y (x,0)wyy (x,0)dx wyyy (x,1)[ (x) (x)]dx 0 (12)
0	0					0
5. Условия оптимальности. Используя равенство						wyy (x,0) uy (x,0) 1 , перепишем
выражение (12) в виде:
2			2 ~			2
wxxy (x,1)[ (x)		(x)]dx uy (x,0)[uy (x,0; )			1 ]dx wyyy (x,1)[ (x) (x)]dx 0 (13)
0	0					0
А из соотношений (13) и (10) придем к неравенству:
	2

	[ wxxy (x,1) wyyy (x,1)			(x)][ (x)			(x)]dx 0, U g .	(14)
	0

Утверждение 2. Чтобы элемент (x) был оптимальным решением в задаче (6)–(8) и

(9), необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял граничным задачам (6)–(8), (11) и вариационному неравенству (14).

6. Априорная оценка для граничной задачи (6)–(8).

Умножая уравнение (6) скалярно в L2 (Q) на u(x, y) , получаем:

2u udQ

u(x,1) (x)dx

2 dQ ,

~ 2

(Q))

(x)

3 / 2

(0,2 )

(Q)

( H

7. Априорная оценка для сопряженной задачи (11).

Для получения априорной оценки из уравнения (11), имеем:

~ 2

[uy (x,0) 1 (x)] wy

(x,0)dx, w H

(Q) ,

H~ 2 (Q)

(H~ 2 (Q))

(x)

H 3 / 2 (0,2 )

H1 / 2 (0,2 ) .

8. Теоремы существования и единственности.

Из априорных оценок (16), (18) непосредственно следуют:

Теорема 1. Граничная задача (6)–(8) при любых заданных

~ 2

3 / 2

(0,2 )

f (H

(Q)) , H0

~ 2

(Q) .

имеет единственное решение u(x, y) H

Теорема 2. Сопряженная граничная задача (11) при любых заданных

(15)

(16)

(17)

(18)

~ 2		1/ 2	(0,2 ), H	3/ 2	(0,2 )
f (H	(Q)) , 1 H0		(0,2 ), H	0	(0,2 )
	~ 2	(Q) .
имеет единственное решение w(x, y) H		(Q) .

Библиографический список

1.Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями частными производными. – М.: Мир, 1972.

2.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1979.

Первый регуляризованный след оператора двукратного дифференцирования на проколотом отрезке

Ахымбек М.Е., Нурахметов Д.Б.

Студент, старший преподаватель Казахский национальный университет имени аль-Фараби

г. Алматы, Казахстан

Ahymbek.Meyram@gmail.com

В этой работе в функциональном пространстве														L (0, ) (			, ) исследуем первый
														2	2	2
															2	2
регуляризованный след оператора L , порожденного дифференциальным выражением

											0 x 2 ,				2 x ,
				L( y) y (x),							0 x 2 ,				2 x ,			(1)
и краевыми условиями
										y(0) 0 ,								(2)

									0
		y(		0) y(		0)			0
									2									(3)
			2		2					( y (x)) (x)dx ( y (x)) (x)dx,								(3)
			2		2										2
															2

					y (		2	0) y ( 2 0)						ay( 2 0),				(4)
										y( ) 0 ,								(5)
где ( ) L (0, ) ( , ) . Заметим,							что		при			4		оператор		L	является ограниченно
где ( ) L (0, ) ( , ) . Заметим,							что		при					оператор		L	является ограниченно
2	2	2
	2	2
обратимым [1-2].
В случае,		когда		( ) 0, 1					оператор				L	эквивалентен оператору				Штурма-
Лиувилля, порожденный дифференциальным выражением
														x

				y (x) (x 2 ),								0						(6)

скраевыми условиями Дирихле (2), (5) [3].

Вработе [4] показано, что первый регуляризованный след задачи (2), (5), (6):

		1		1
( n	n2		( 1)n		) ,

n 1

сходится, а его сумма равна 18 .Практическое приложение таких видов операторов можно

найти в работе [5].

В случае гладкого потенциала q( ) C1[0, ] хорошо известна классическая формула первого регуляризованного следа [6–9]:

	1		1		q(0)	q( )
( n n2	1	q(x)dx)	1	q(x)dx	q(0)	q( )	.

			2			4
n 1		0		0
		14

Эта формула следа сохраняется для произвольного потенциала q( ) L2 для которого ряд Фурье в точках 0, сходится к значениям функции [10].

В случае q( ) L1 первый регуляризованный след вычислен В. А. Винокуровым и В. А. Садовничим [11]. Они показали, что

( n n2 b2n ) 0,

n 1

причем ряд сходится для произвольной функции q( ) L1 . Здесь bk 0 cos kxdu(x) , а u( )

–функция ограниченной вариации на [0, ], непрерывная в концах этого отрезка.

Вэтой работе для наглядности результата предположим, что

	x,		0 x ;
				2
(x)				2			(7)
(x)							(7)
		0.		x .
		0.		x .
			2
В дальнейшем под первым регуляризованным			следом изучаемого оператора				L будем
понимать предел частичных сумм при n
k				(4(2k 1)2	8	)	(8)
k				(4(2k 1)2	2	)	(8)
k int n	(2k 1) int n
k int n	(2k 1) int n

если существует некоторая неограниченно расширяющаяся последовательность контуров n

. Обозначим через n окружность в комплексной плоскости радиуса n 12 .

Теорема. Пусть L – оператор двукратного дифференцирования соответствующий задаче (1)–(5) и граничная функция ( ) представима в виде формулы (7). Тогда существует

предел частичных сумм (8) при	n , а его сумма равна	2	2	.

			2

Библиографический список

1. Кокебаев Б. К., Отелбаев М., Шыныбеков А. Н. К вопросам расширения и сужения операторов // Доклады АН СССР. – 1983. – Т. 271, № 6. – С. 1307–1311.

2. Kanguzhin B. E. and Nurakhmetov D. B. Boundary Value Problems for 2nd Order Nonhomogeneous Differential Equations with Variable Coefficients // Journal of Xinjiang University (Natural Science Edition – 2011. – Vol. 28, 28 (Sum.121), № 1. – Р. 47–56.

3.Савчук А. М., Шкаликов А. А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. – 1999. – Т. 66, № 6. – С. 897–912.

4.Савчук А. М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с - потенциалом // УМН. – Т. 55, № 6 (336). – С. 155–156.

5.Albeverio S., Gesztesy F., Hoegh-Krohn R., Holden H. Solvabel models in quantum mechanics.

– New York: Springer, 1988 (Second edition: AMS, 2005).

6.Гельфанд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. – 1953. – Т. 88. – № 4. –

С. 593–596.

7.Лидский В. Б., Садовничий В. А. Регуляризованные суммы корней одного класса целых функций // Докл. АН СССР. – 1967. – Т. 176, № 2. – С. 259–262.

8.Дикий Л. А. Об одной формуле Гельфанда-Левитана // УМН. – 1953. – Т. 8, № 2. – С. 119–

9.Левитан Б. М. Вычисление регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиувилля // УМН. – 1964. – Т. 19, № 1. – С. 161–165.

10.Марченко В. А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. – Киев: Наукова думка,

1977.

11. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Собственное значение и след оператора ШтурмаЛиувилля как дифференцируемые функции суммируемого потенциала // Докл. РАН. – 1999.

– Т. 365, № 3. – С. 295–297.

Исследование корректности некоторых многоточечных краевых задач

Бәзікей Н., Қалиасқар М.

Магистранты Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан magazaskar@mail.ru, nurgali_seitkazy@mail.ru

Хорошо известно, что многие краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений (систем уравнений) можно записать в виде краевой задачи для систем дифференциальных уравнений первого порядка. Невыраженную линейную систему дифференциальных уравнений первого порядка можно привести к виду Ly y' A(x) y , где y

вектор функций, A x aij n матрице порядка n n .

i, j 1

Главной частью уравнения является оператор L0 y y' , в работе рассматриваются корректные задачи для данного оператора на базе общей теории сужений. Через будем обозначать евклидовую норму n -мерного вектора x x1, x2 , , xn .

Через C[0,1] обозначим пространство -мерных вектор функций на [0,1] с нормой

C 0,1 n

sup

y x

x 0,1

Через

обозначим

пространство

непрервно

дифференцируемых вектор

C 0,1 n

функций с нормой

sup

y x

sup

y x

x 0,1

Пусть

–

минимальной

оператор,

определенный равенством

L0 y y'

пространстве C 0,1 n с областью определения D L0

C 0,1 n .

Рассмотрим задачу Коши в C 0,1 n .

y f x

y 0 y

y , y

, , y

0,0, ,0

Это задача корректна. Соответствующий оператор обозначим через Lk , тогда Lk1 f t dt.

Поэтому из общей теория сужения вытекает любое корректное сужение LF .

Оператор

определяется как задача:

y f x

y 0 Ff 0

где F – любой оператор, действующий из C 0,1 n

в C 0,1 n .

Теорема 1.

Пусть x1 , x1 , , xk ;

y1 , y1 , , yk ;

z1 , z1 , , ze ; – произвольные точки отрезка

0,1 , а N j j 1,2, , k и M j

j 1,2, ,e

– произвольные матрицы порядка

n n . Тогда

задача

t f t

y 0 N j y y j y x j M j y z j .

j 1

в пространстве C 0,1 n корректна, т.е. для любой	f C 0,1 n имеет единственное решение

y t C 0,1 n .

Библиографический список

1.Отелбаев М., Кокебаев Б.К., Шыныбеков А.Н. К теории расширения и сужения операторов // Известия АН КазССР. Серия физико-математическая. – 1982.– № 5.

2.Райхан М. Стокс операторының қисынды тарылулары туралы // Вестник КарГУ. Серия математика. – 2008. – № 4. – С. 99–102.

Порождающие элементы группы автоморфизмов свободной алгебры Ли конечного ранга

Берикулы А.

Магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстана aralbekk@gmail.com

Пусть	Ln Lie x1 , x2 , , xn	– свободная алгебра	Ли	со свободными
порождающими	x1 , x2 , , xn над произвольным полем F . Через		Aut Ln	обозначим группу

автоморфизмов алгебры Ln , а через ( f1 , f2 , , fn ) обозначим автоморфизм алгебры Ln такой, что (xi ) fi , 1 i n. Автоморфизм

	(i, , f ) (x1 , , xi 1 , xi f , xi 1 , , xn ),	(1)
где 0 F,	f Lie x1, , xi 1, xi 1, , xn , называется элементарным.	Автоморфизм

Aut Ln называется ручным, если он разлагается в произведение элементарных.

В1964 году П. Кон [1] доказал, что автоморфизмы свободной алгебры Ли конечного ранга являются ручными. Более того, этот результат был обобщен для свободных алгебр многообразий Нильсена-Шрайера [2]. У. У. Умирбаевым были описаны определяющие соотношения группы автоморфизмов конечнопорожденных свободных алгебр многообразий Нильсена-Шрайера [3].

Внастоящей работе доказана следующая

Теорема. Пусть (i, , f ) Aut Ln – автоморфизм вида (1) степени		n 2 , т.е.
степень f n 2. Тогда (i, , f )	разлагается в произведение линейных автоморфизмов и
одного автоморфизма (1,1,[x3 , x2 ])	степени 2.

Библиографический список

1.Cohn P. M. Subalgebras of free assosiative algebras // Proc. London Math. Soc. – 1964. – Vol. 56. – P. 618–632.

2.Lewin J. On Schreier varities of linear algebras // Trans. Amer. Math. Soc. – 1968. – Vol. 132.

– P. 553–562.

3.Umirbaev U. U. Defining relations for automorphism groups of free algebras // J. Algebra – 2007. – Vol. 314. – P. 209–225.

Преобразование Харди в пространстве Lp

Галеев Д.К.

Магистрант Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан daurengaleev@rambler.ru

Приведем классические результаты Харди [1].

Пусть f Lp [0;1], 1 p , с рядом Фурье f

~ ak e2 ikx .

k 0

Рассмотрим величины

am ,

k 1,2,...

1 m 0

m 0 m

Тогда ряды

Ak e2 ikx ,

Bk e2 ikx

k 0

k 1

являются рядами Фурье некоторых функций Hf , Bf

из Lp [0;1] и верны неравенства

p c

p ,

p c

p .

Данные неравенства H , B называются преобразованиями Харди и Беллмана.

Определим преобразования типа Харди для более общих усреднений.

Пусть 1 p , f Lp [0;1],

~ ak e2 ikx .

с рядом Фурье

k k 1

– некоторая

k 1

последовательность, которая удовлетворяет условию: при

sup m2

m m 1

(1)

1 m k

m 1

где D>0 – некоторая константа, не зависящая от k. Рассмотрим последовательность чисел

Ak ( f , )

m am

m 1

Определим обобщенное преобразование H ( f , )

следующим образом:

H ( f , ) Ak e2 ikx

m am

e2 ikx .

k 1

m 1

Теорема. Пусть 2 p ,

, f Lp [0;1], f

~ ak e2 ikx . Последовательность

k 1

удовлетворяет условию (1) при 1 1p . Тогда преобразование типа Харди ограничено из

Lp в Lp и верно неравенство

Hf p c f p .

Библиографический список

1. Hardy G.H. Notes on some points in the integral calculus // LXVI The arithmetic mean of a Fourier constant. Messages of Math 1958. – P. 50-52.

Оценки обобщенного решения одного класса сингулярных систем дифференциальных уравнений

Дабылова Г.Я., Муталип С.

Магистранты Евразийский национальный университет имени Л.Н. Гумилева

г. Астана, Казахстан

kokbori@inbox.ru, gudo1990@mail.ru

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

a(x) y1 b(x) y2 f1 (x)

(1)

' d (x) y a(x) y

(x),

где x ( ; ) R ,

a,b, d – непрерывные функции, f

, f

(R) , 1 p .

Обозначим через L минимальный замкнутый оператор, соответствующий системе (1).

Пусть F ( f1 , f2 ) .

y y , y

Определение.

Функция

(R, R2 )

называется решением системы (1),

y1,n , y2,n

сколь угодно дифференцируемых

если найдется последовательность yn n 1

и финитных вектор-функций,

такая,

что

0 ,

при

n . Здесь

Lyn

– норма пространства

(R, R2 ) .

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть 1 p ,

f1 , f2

Lp (R) , а функции

a,b, d

непрерывны и

удовлетворяют условиям

a(x) 0, | b d | 2(a ) .

Тогда решение ( y1, y2 ) системы (1) единственно и для него имеет место неравенство

p c

p ,

где c не зависит от ( y1, y2 ) , а

p – норма пространства Lp (R) .

Теорема 2. Пусть

f1 , f2 L1 (R) , а a,b, d – непрерывные функции, удовлетворяющие

условиям

a(x) 0, | b d | 2(a ) ,

при

некотором 1.

Тогда

для решения

( y1 , y2 )

системы

(1)

справедлива оценка

разделимости

(a | d |) y

(a | b |) y

где c не зависит от ( y1, y2 ) , а

1 – норма в L1 (R) .

Теоремы 1 и 2 обобщают результаты работы [1] на случай несимметрической системы

(1).

Библиографический список

1. Оспанов К. Н., Рахимбаев Б. Ж. Lp-оценки решений одномерных систем Дирака / Материалы международной научной конференции «Сатпаевские чтения VIII». – 2008. – 104 с.

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.11.2018135.17 Кб0сборник упражнений часть1.doc
#
29.04.2019190.46 Кб3сборник устных тем по страноведению.doc
#
01.07.20251.03 Mб1Сборник Экстренная психологическая помощь детям...doc
#
01.07.2025809.75 Кб0СБОРНИК_2016_Усл_по_СОВАМ_в.2.docx
#
23.12.2018546.82 Кб5Сборник_Заданий_СРС_КМП 3семестр 2011.doc
#
09.02.20154.59 Mб64Сборник_Ломоносов-2014_часть1.pdf
#
01.07.202515.63 Mб0Сборник_МУ_Техпроц.doc
#
11.11.201814.48 Mб8Сборочный чертеж ролика.doc
#
01.05.2025507.9 Кб0СБЫТ.doc
#
01.05.202576.29 Кб0Св.з 7.doc
#
27.11.2019610.3 Кб5СВ_КП_Электроника_01.doc