методичка_1 / гл5

Глава 5

Глава 5.

Метод наименьших квадратов (МНК)

для решения медико-биологических задач. Корреляция.

Откройте программу Excel. Если Вы выполняли задания по информатике раньше и сохранили свой файл, загрузите его. Задание выполняйте на новом листе. Введите его название: МНК, корреляция. В ячейку А1 введите дату выполнения работы, в ячейку А2 – факультет и номер группы, в ячейку А3 – фамилии студентов, выполняющих работу. В конце работы в названии файла укажите группу и фамилии студентов и сохраните файл.

Примечание. Данные для заданий 1-3 взяты из книги С.Гланца «Медико-биологическая статистика».

Задание 1. Для оценки эффективности полоскания зубов зубной налет оценивали визуально, а затем взвешивали

Визуальная оценка зубного налета, баллы	Сухой вес зубного налета, мг
25	2,7
32	1,2
45	2,7
60	2,1
60	3,5
65	2,8
68	3,7
78	8,9
80	5,8
83	4,0
100	5,1
110	5,1
120	4,8
125	5,8
140	11,7
143	8,5
143	11,1
145	7,1
148	14,2
153	12,2

Представить результат графически. Рассчитать коэффициент корреляции и построить аппроксимирующую линию (линию регрессии).

Внимание. При построении графиков следует пользоваться типом диаграммы: точечная. Именно этот тип диаграммы позволяет построить изображение в масштабе по обеим осям.

Выполнение задания.

Для расчета коэффициента корреляции используйте функцию коррел, в которой в массив 1 введите адреса ячеек, где содержится вес зубного налета, а в массив 2 – адреса ячеек, где введена оценка зубного налета в баллах (или наоборот).

Для построения линии регрессии «поставьте мышку» на экспериментальные точки на диаграмме и нажмите правую клавишу (см. рис. 5.1). Выберите Добавить линию тренда, на вкладке тип: в окне Построение линии тренда (аппроксимация и сглаживание) выберите линейная, на вкладке параметры – показывать уравнение на диаграмме.

Рис. 5.1

Задание 2. Используя уравнение регрессии из задания 1, рассчитайте, какой вес зубного налета соответствует 100 баллам и сколько баллов соответствует весу в 5 мг.

Выполнение задания.

Для решения задачи Вы можете использовать уравнение, показанное на диаграмме, но удобнее задать формулу (в отдельной ячейке), используя статистические функции Excel: НАКЛОН и ОТРЕЗОК. Линия регрессии имеет два параметра a и b: y = ax+b. Функция НАКЛОН возвращает наклон линии регрессии (т.е. коэффициент а в уравнении). Для этой функции надо указать массивы данных, например =НАКЛОН(B6:B25;A6:A25), что соответствует заданию y, затем x. Вызываем функцию с помощью значка f_x. В открытом окне функции из позиции нужной строки можно задать массивы, выделяя их, удерживая левую клавишу мыши (рис. 5.2).

Рис. 5.2

Функция ОТРЕЗОК вычисляет точку пересечения линии регрессии с осью y (т.е. коэффициент b в уравнении y = ax+b).

Чтобы вычислить значения веса зубного налета, соответствующего 100 баллам, и количество баллов, соответствующего весу в 5 мг, можно поискать самостоятельно (в стандартных функциях Excel) функцию, подходящую для вычисления требуемых величин. Вы найдете, конечно, ПРЕДСКАЗ и правильно зададите для нее параметры: =ПРЕДСКАЗ(100;B6:B25;A6:A25) и

=ПРЕДСКАЗ(5;A6:A25;B6:B25).

Задание 3а. Исследовали влияние безникотиновых сигарет на работу сердца. Для каждого испытуемого (их было 12) с болезнью сердца измеряли продолжительность физической нагрузки до появления одышки. Тест проводился два раза: до курения безникотиновых сигарет и после. Результаты измерений представлены в задании 2а в теме «Описательная статистика». Рассчитайте коэффициент корреляции между продолжительностью физической нагрузки до курения безникотиновых сигарет и после. Связаны ли эти параметры между собой? Если связаны, то как?

Задание 3б. На тех же испытуемых исследовали влияние вдыхания окиси углерода на работу сердца. Проводили те же измерения до и после вдыхания окиси углерода. Результаты измерений представлены в задании 2б в теме «Описательная статистика». Рассчитайте коэффициент корреляции между продолжительностью физической нагрузки до и после вдыхания окиси углерода. Связаны ли эти величины между собой? Оцените эту зависимость по шкале: сильно, слабо, почти не связаны, нет зависимости одной от другой.

Задание 3в. В некотором исследовании у 22 собак измеряли среднее артериальное давление и диаметр коронарной артерии. Результаты измерений представлены в задании 3 в теме «Описательная статистика». Рассчитайте коэффициент корреляции между средним артериальным давлением и диаметром коронарной артерии для трех случаев:

для группы собак (11 собак), которым вводили лекарство Н;

для группы собак (11 собак), которым вводили физиологический раствор;

для всех собак вместе (22 собаки).

Связаны ли эти величины между собой? Оцените эту зависимость по шкале: сильно, средне, почти не связаны, нет зависимости одной от другой.

Задание 3в. В клинике Вашингтонского университета исследовали расходы пациентов на обследование и последующее лечение. У каждого врача (в исследовании участвовали 13 врачей) определили среднегодовые расходы одного пациента на обследование и среднегодовые расходы на лечение одного пациента. После этого врачей частично информировали о том, какие расходы несут пациенты их коллег, и снова определили расходы. Результаты исследования представлены в задании 4 в теме «Описательная статистика». Рассчитайте коэффициент корреляции между среднегодовыми расходами одного пациента на обследование и на лечение для двух случаев:

до информирования врачей о коллегах;

после информирования врачей о коллегах.

Связаны ли эти величины между собой? Если связаны, то как эту связь величин можно оценить?

Задание 4а. Даны результаты измерений роста и веса некоторой группы мужчин:

рост, см	156	166	158	173	181	159	172	173	175	169
вес, кг	62	64	61	70	94	65	76	95	69	71

Построить график с экспериментальными данными. Построить аппроксимирующую линию. Какой вес (в среднем) будет у мужчины с ростом 200 см? Связаны ли между собой вес и рост? Рассчитать коэффициент корреляции.

Задание 4б. Даны результаты измерений роста и веса некоторой группы мужчин:

рост, см	156	166	158	177	191	159	172	186	165	169
вес, кг	62	68	61	86	94	65	72	90	69	71

Построить график с экспериментальными данными. Построить аппроксимирующую линию. Какой вес (в среднем) будет у мужчины с ростом 190 см? Связаны ли между собой вес и рост? Рассчитать коэффициент корреляции.

Задание 4в. Даны результаты измерений роста и веса некоторой группы мужчин:

рост, см	180	175	186	182	158	191	199	178	168	162
вес, кг	80	80	82	92	77	97	103	75	70	71

Построить график с экспериментальными данными. Построить аппроксимирующую линию. Какой вес (в среднем) будет у мужчины с ростом 150 см? Связаны ли между собой вес и рост? Рассчитать коэффициент корреляции.

Задание 4г. Даны результаты измерений роста и веса некоторой группы мужчин:

рост, см	156	178	158	177	191	163	172	186	165	169
вес, кг	97	89	98	56	57	98	72	62	95	80

Построить график с экспериментальными данными. Построить аппроксимирующую линию. Какой вес (в среднем) будет у мужчины с ростом 180 см? Связаны ли между собой вес и рост? Рассчитать коэффициент корреляции.

Задание 4д. Даны результаты измерений роста и веса некоторой группы мужчин:

рост, см	156	189	158	177	191	163	172	186	165	169
вес, кг	96	73	87	61	56	78	72	65	74	80

Построить график с экспериментальными данными. Построить аппроксимирующую линию. Какой вес (в среднем) будет у мужчины с ростом 170 см? Связаны ли между собой вес и рост? Рассчитать коэффициент корреляции.

Задание 5а. Число заболевших гриппом за неделю представлено в таблице:

время, дни недели	число заболевших гриппом, чел.
понедельник	15
вторник	20
среда	26
четверг	31
пятница	40
суббота	43
воскресенье	45

Найдите уравнение тренда. Дайте прогноз на количество заболевших в следующий понедельник. Представьте результаты графически.

Задание 5б. Уменьшение спроса на лабораторную технику за последние семь месяцев представлено в таблице:

время, месяцы	спрос на лабораторную технику, шт.
октябрь	176
ноябрь	167
декабрь	150
январь	140
февраль	120
март	111
апрель	105

Найдите уравнение тренда. Дайте прогноз на спрос в мае. Представьте результаты графически.

Задание 5в. Рост цен на лабораторную технику за последние восемь месяцев представлен в таблице:

время, месяцы	цены на лабораторную технику, у.е.
август	100
сентябрь	103
октябрь	105
ноябрь	110
декабрь	110
январь	115
февраль	118
март	120

Найдите уравнение тренда. Дайте прогноз на цены в мае. Представьте результаты графически.

Окончание работы.

После выполнения заданий сохраните файл в папке ИНФОРМАТИКА. Лечебный факультет под именем, содержащим номер группы и фамилии тех, кто выполнял работу. Например, 92гр.Иванов,Петров

Контрольные вопросы к занятию по информатике:

Метод наименьших квадратов (МНК)

для решения медико-биологических задач. Корреляция.

1. Построение линии, аппроксимирующей экспериментальные данные методом наименьших квадратов.

2. Графики линейных функций y = a x + b в зависимости от значений параметров a и b.

3. Коэффициент корреляции. В каких пределах лежит эта величина? В каких случаях коэффициент корреляции равен -1, 0, 1? В каких случаях коэффициент корреляции отрицательный, положительный?

1. Морозов Ю.В. Основы высшей математики и статистики. М. Медицина 1998 С.151-163

2. Антонов В.Ф и др. Физика и биофизика. Практикум 2008 стр.34-38

60