metodichka_Fedorovoi-_matanaliz_diffur / Т е м а 2
.pdf9
Т е м а 2
Функция нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных.
До сих пор мы изучали функцию одного аргумента (одной независимой переменной), т.е. функции вида y f (x) . Вместе с тем в физике, химии, биологии большинство процессов подчинено законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными. Например, площадь прямоугольника
есть функция двух аргументов - сторон х и y .
Любая |
из |
переменных уравнения состояния |
PV RT |
||||
есть функция |
двух |
аргументов, например, |
P |
RT |
. Здесь |
||
V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
функция P |
зависит |
от двух переменных: температуры Т и |
|||||
объема V.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Литература для подготовки к занятию:
Морозов Ю.В. "Основы высшей математики и статистики",
М., 1998, с.52-56.
В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1)Понятие сложной функции одной переменной.
2)Понятие приращения аргумента и функции одной переменной.
3)Дифференцирование сложной функции.
П. Изучить по указанной литературе следующие вопро-
сы:
1)Понятие частного приращения функции нескольких переменных.
2)Понятие частной производной функции нескольких переменных.
Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля Задача 1. Найти частные приращения функции
f (xy) x2 xy
|
|
|
Решение |
|
|
Частное приращение по |
x , аргумент y не изменяется |
|
x |
f f (x x, y) f (x, y) (x x)2 |
(x x) y x2 xy |
|
|
|
x2 2x x ( x)2 xy xy x2 xy (2x y) x ( x)2
10
Частное приращение по y , аргумент x не изменяется
y f x2 x( y y) x2 xy x y
Найти самостоятельно частные приращения функций по х и по у:
1)Z 2x2 y 2
2)Z 5x 3xy 3
Задача 2. Найти частные производные функции Z xy
Решение Данная функция является функцией двух аргументов: х и у.
При нахождении производной по одному аргументу другой аргумент рассматривается как постоянная величина.
Тогда |
|
|
Z |
|
|
|
( |
x |
|
) |
1 x |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z x |
x |
|
x |
y |
|
y x |
|
y |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
||
|
|
|
|
( |
|
|
) x |
|
|
( y ) |
|
||||||||||
|
Z y |
y |
|
y |
y |
y 2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти самостоятельно частные производные следующих функций:
|
|
1) |
|
|
Z x e y |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
Z cos(2x 2y) |
|||||||||||
|
|
2) |
|
|
Z ln(x y) |
|
|
|
|
|
4) |
Z 2x2 y3 |
||||||||||||||
|
|
Задача 3. Найти частные производные функции Z e x 2 y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|||
|
|
Частная |
|
|
производная по |
|
аргументу x . Аргумент y |
|||||||||||||||||||
считаем постоянной величиной. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
x 2 y |
) e |
x 2 y |
|
|
(x 2 y) |
e |
x 2 y |
|
|||||||||
Z x |
x |
|
|
|
|
(e |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Частная производная по аргументу y . При этом аргу- |
||||||||||||||||||||||||
мент |
x |
|
считаем постоянной величиной. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 y |
|
e |
x 2 y |
|
|
(x 2 y) 2e |
x 2 y |
|
||||||||
Z y |
y |
|
y |
(e |
|
|
|
) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Найти самостоятельно частные производные функций: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z sin(xy) |
||||||||
|
|
1) |
|
|
Z |
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
3) |
||||||||||
|
|
2) |
|
Z e xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) V r 2 h |
||||||||||||
11
Задачи для решения на практическом занятии
Найти частные производные функций:
1. Z (x2 y 2 )2 5. Z ex / y e y / x
2. Z |
x y |
|
6. Z cos y / x |
x y |
|
||
|
|
||
3. Z ln(x2 y 2 ) |
7. Z ln(xy) |
||
4.Z x2 sin y
8)Зависимость объема V газа, масса которого постоянна, от температуры T и давления P выражается фор-
мулой V RTP , где R - постоянная.
Доказать, что P V T V 0 .
P T
9.Z 
1 x2 y3
10.Z x ln y
11.Z cos x esin y