metodichka_Fedorovoi-_matanaliz_diffur / Т е м а 4

(x2 x 2)dx x2 dx xdx 2 dx

x3

x2

2x C

3

2

Найти самостоятельно следующие интегралы:

1) (2x2 5x 6)dx

2)

(x 1)2 dx

2. Найти

Задача

x 1dx

Решение

Введем

новую переменную t x 1 и выразим дифференциал

dx ,

отсюда dx dt

dt t dx (x

1) dx

Подставив

t

в подынтегральное выражение, получим:

1

1

1

t 2

3

dx

dt t

dt

C

2

t

x 1

t

2

2

C

1

1

3

2

x ,

Возвращаясь

к

первоначальной переменной

оконча-

тельно получим:

2

t

3

C

2

x 1

dx

2

(x 1)3 C

3

3

Найти самостоятельно следующий интеграл:

dx

4x 3

Задача 3. Найти

cos2 x sin xdx

Решение

Введем новую

переменную

t cos x . Выразим

дифференциал

dx через dt . Для

этого, дифференцируя выражение

cos x t ,

последовательно получим

d(cos x) dt ; sin x dx dt ;

dx

dt

sin x

Подставляем в подынтегральное выражение

cos 2 x sin xdx t 2 dt

t 3

C

3

Возвращаясь к

первоначальной

переменной

x , оконча-

тельно получим

cos 2 x sin xdx

cos3

x

C

3

Найти самостоятельно следующие интегралы:

1) cos 7xdx

2) sin 2

x cos xdx

Задача

4. Найти enxdx ,

n - постоянный

коэффициент,

n 0 .

Решение

Введем новую переменную

t nx , дифференцируем:

d(nx) dt ;

ndx dt , отсюда

dx

dt

. Тогда

n

enxdx et

dt

1

et dt

1

et C

n

n

n

Возвращаясь к первоначальной переменной х, окончатель-

но получим:

enxdx

1

enx

C .

n

Найти самостоятельно следующие интегралы:

1) e3x dx

2)

sin x ecos x dx

Задача

5.

Скорость тела

задана

выражением V (6t 2 2t) ,

та тела оказалась равной 60 м.

Решение

По

определению скорости

V

dx

, тогда

в нашем случае

dt

dx

(6t 2

2t) .

dt

Отсюда dx (6t 2 2t)dt .

Интегрируя, получаем:

x(t) (6t 2 2t)dt 6 t 2 dt 2 tdt 6

t 3

2

t 2

C 2t 3

t 2

C .

3

2

Используя дополнительное условие задачи

x(3) 60 , получим:

x(3) 2 33 32 C 60 , откуда

C 3 .

единицу времени задается формулой

dN

100t 2 . Определить за-

dt

висимость

количества

микроорганизмов

N от времени,

если

при t 0

N(0) 100 .

Решение

Из формулы

dN

100t 2 можно определить зависимость числа

dt

микроорганизмов от времени N (t) 100t 2 dt 100

t 3

C .

3

Чтобы определить значение константы интегрирования

C ,

нужно воспользоваться начальными условиями, т.е. N(0) 100 .

N (0) 100

03

C . Отсюда

N(0) C ,

C 100 .

3

Тогда получаем результат

N (t)

100

t 3

100 .

3

Следовательно,

количество микроорганизмов увеличива-

Решить самостоятельно следующую задачу

Сила, действующая на тело в направлении движения, из-

меняется со временем по закону F 2t (H). Найти

скорость

тела

в любой момент времени, зная, что в момент

t 0 она

была

равна 1 м/с. Масса тела 3 кг.

Задачи для решения на практическом занятии:

1. x5 dx

9.

5x 1dx

2.

(1 4x)(1 2x)dx

10.

sin(5x 1)dx

3.

3x2 4x 6

dx

11.

sin3 x cos xdx

x

2

4.

dx

12.

ctgx

dx

1 x

sin 2 x

5.

dx

dx

13.

(1 x)2

x ln x

6.

2xdx

14.

dx ln x

x

2

1

x

x2

tgx dx

7.

x3

1dx

15.

8.

cos

2x 1

dx

16.

e

x2

x

dx

3

Решить задачи

1)Составить уравнение движения тела, если скорость те-

ла

V t 2 2t 5

(м/с), а при t=0 тело находилось в точ-