metodichka_Fedorovoi-_matanaliz_diffur / Т е м а 5
.pdf
18
Т е м а 5
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла используют при решении практических задач, в частности, в задачах по вычислению площадей плоских фигур, расчету работы, производимой переменной силой и т.д.
Литература для подготовки к занятию по теме:
Ю.В.Морозов "Основы высшей математики". М., 1998, с.68-72, 74-76, 79-82. В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выпол-
нить:
1. Повторить следующие теоретические вопросы:
1)Основные свойства неопределенного интеграла.
2)Таблицу основных интегралов.
П. Изучить по указанной литературе следующие теоретические вопросы:
1)Понятие определенного интеграла (на примере нахождения площади криволинейной трапеции).
2)Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
3)Вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определенного интеграла.
4)Вычисление работы переменной силы с помощью определенного интеграла. Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Вычислить определенный интеграл: |
x 2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле Ньютона-Лейбница f (x)dx F (x) |
|
|
ba |
F (b) F (a) , |
||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F (x) - первообразная функция для подынтегральной функции f (x) . |
||||||||||||||||||||||||
Поскольку простейшей первообразной для функции |
f (x) x2 является |
|||||||||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F (x) |
|
, в данном случае имеем: x2 dx |
x |
|
|
12 |
2 |
|
|
1 |
|
8 |
|
|
1 |
|
7 |
|
||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3 |
|
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
3 |
3 |
3 |
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить самостоятельно определенные интегралы: |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. sin xdx |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (1 2x 3x2 )dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Вычислить определенный интеграл: |
1 xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
Данный интеграл не является табличным и для вычисления воспользуемся методом замены переменной, а именно, введем новую переменную:
19
|
|
t 1 x, тогда dt dx и dx dt . |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Затем находим новые пределы интегрирования (по переменной t ), исполь- |
||||||||||||||
зуя связь между "старой" и "новой" переменными. |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Действительно, при x 0 |
t 1, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x 1 |
t 0 . |
|
|
|
|
||
|
|
Заменяем в исходном интеграле переменную x на переменную t и записы- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
ваем новые пределы интегрирования, тогда получаем: |
1 xdx t |
2 |
dt . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Затем вычисляем определенный интеграл, используя формулу первообраз- |
||||||||||||||
ной степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница: |
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
dt |
2 |
|
|
|
10 |
2 |
(0 1) |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить самостоятельно определенные интегралы методом замены переменной
|
|
|
|
|
10 |
2 |
|
||
1. cos 5xdx |
2. e x2 |
xdx |
||
0 |
|
1 |
|
|
Задача 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x 1, x 1, x 3 , y 0 .
Решение Вначале представим искомую площадь графически:
у |
|
|
|
4 |
|
C |
|
3 |
|
|
|
2 |
B |
|
|
1 |
|
|
|
|
А |
D |
|
1 |
2 |
3 4 |
х |
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВСD.
В соответствии с геометрической интерпретацией определенного интеграла,
b
определенный интеграл функции y f (x) в пределах от x a до x b , т.е. f (x)dx ,
a
численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линией графика функции y f (x) , осью абсцисс ОХ и линиями x a и x b , искомая площадь
3
S ABCD равна: S ABCD (x 1)dx .
1
20
Вычисляя полученный определенный интеграл с использованием формулы Ньютона-Лейбница имеем:
3 |
3 |
3 |
x |
2 |
3 |
|
|
9 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
S ABCD (x 1)dx xdx dx |
|
|
x |
|
13 |
2 7.5 кв.ед. |
|||||
|
|
|
|||||||||
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Вычислить самостоятельно площади фигур, ограниченные линиями:
1) |
y x3 6; x 0; x 5; |
y 0. |
2) |
y x 1; y 0; x 0; |
x 2. |
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
y 6x x2 ; |
y 0. |
|
Решение: |
Представим искомую площадь графически:
у |
|
В |
|
9 |
|
6 |
|
3 |
|
А 1 3 5 С |
х |
Искомая площадь - площадь криволинейной трапеции АВС.
x2
S ABC y(x)dx .
x1
Для вычисления этой площади необходимо знать пределы интегрирования. Найдем их, решая совместно систему уравнений
y 6x x2 y 0
6x x2 0; x(6 x) 0; x 0, x |
2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точки пересечения этих линий x1 0 |
и x2 6 и есть искомые пределы при |
|||||||||||||
вычислении определенного интеграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
6 |
|
6 |
|
|
2 |
6 |
|
|
3 |
6 |
|||
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда S ABC (6x x2 )dx 6xdx x2 dx 6 |
|
|
|
|
|
|
|
3 36 72 36 кв.ед. |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
0 |
|
0 |
2 |
0 |
3 |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Вычислить самостоятельно площадь, ограниченную линиями:
1)y 2 4x 0; x y 0
2)y3 4x 0; y x
Задача 5. Вычислить работу, которую необходимо совершить для растяжения пружины от равновесного состояния на величину d 0.1 м, если коэффициент упругости пружины k 100 н/м.
21
Решение
Согласно закону Гука для растяжения пружины на величину x необходимо приложить силу F(x) kx .
Работа переменной силы, действующей на тело при перемещении его из точки x a в точку x b , численно равна определенному интегралу от этой силы
на отрезке a,b : |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A F (x)dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Зная закон изменения силы F (x) от растяжения x пружины, найдем работу |
|||||||||
|
d |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
A по формуле: |
A kxdx |
kx |
|
|
|
0d |
kd |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
0
При подстановке в эту формулу численных значений получим окончательный результат A 0.5 Дж.
Решить самостоятельно задачу.
Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м. Сила в 10 Н растягивает ее на 2 см. Вычислить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 см до 35 см. (Необходимо перевести см в м).
Задачи для решения на практическом занятии: 1. Вычислить определенные интегралы
|
16 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
7. |
tgxdx |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
0.5e2 x dx |
|
8. |
(2x3 3x2 4)dx |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
||||
3. |
|
( |
|
|
x |
|
|
)dx |
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
(x |
1) |
2 |
|
|||||
4. |
|
|
|
|
x 2 dx |
|
10. |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
e x dx |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
( |
|
|
|
|
e x )dx |
|||||
2 e |
x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
12. (5cos x x)dx |
|||||||||||||||
|
sin |
2 |
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Вычислить площади фигур, ограниченные линиями: |
||||||||||||||||||||||||
1. |
|
y x2 ; y x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2. |
y |
|
|
|
x; y x |
|||||||||||||||||||||||
3. |
|
y sin x; y 0 |
на отрезке 0, |
4. |
y 2 9x; |
x2 9 y |
||||||||||||||||||||||||
5.y 4 x2 ; y 0
3. Вычислить работу переменной силы.
1) Вычислить работу, совершаемую при сжатии винтовой пружины на 6 см, если известно, что для сжатия ее на 0,5 см требуется приложить силу 6 Н. Считать, что приложенная сила пропорциональна сжатию пружины ( F kx).
22
2) Вычислить работу, производимую спортсменкой при растяжении эспандера на 70 см, если известно, что при усилии в 10 Н эспандер растягивается на 1 см.
4. Решить задачи.
1) В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индикатором dCdt e t ln 2 . Найти концентрацию препарата в момент време-
ни t.
2) Скорость движения тела v 3t 2 2t ( м/с). Какой путь пройдет тело за 5 с от начала движения, если при t 0 x 0 .