metodichka_Fedorovoi-_matanaliz_diffur / Т е м а 6

28

Т е м а 6

Дифференциальные уравнения

При изучении различных процессов в физике, химии, биологии, медицине часто не удается непосредственно найти законы, связывающие величины, которые характеризуют изучаемое явление. Но в то же время легко устанавливается зависимость между теми же величинами и их производными или дифференциалами. При этом получаются уравнения, содержащие неизвестные функции и производные этих функций или дифференциалы. Такие уравнения называются дифференциальными.

Примером дифференциального уравнения является уравнение движения материальной точки массой m под действием

Литература для подготовки к занятию по теме: Ю.В.Морозов "Основы высшей математики и статистики". М., 1998, с.85-92.

В процессе подготовки к практическому занятию по теме необходимо выполнить следующее:

1. Повторить следующие теоретические вопросы:

1)Понятие дифференциала функции одной переменной.

2)Понятие неопределенного интеграла (основные формулы интегрирования).

П. Изучить по указанной литературе теоретические вопросы:

1)Понятие дифференциального уравнения.

2)Чем определяется порядок дифференциального уравне-

ния?

3)Что называется общим и частным решениями дифференциального уравнения?

4)Решение дифференциальных уравнений первого порядка

сразделяющимися переменными.

Эталоны решения типовых задач и задачи для самоконтроля. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяю-

щимися переменными имеют вид U1 (x)V1 ( y)dx U2 (x)V2 ( y)dy 0 .

В уравнениях такого типа путем алгебраических преобразований можно добиться, чтобы при дифференциале dy стояла функция, зависящая только от переменной y , а при дифферен-

29

циале dx - функция, зависящая только от переменной x . Такие уравнения называются уравнениями с разделенными переменными.

Для того чтобы решить такое уравнение, т.е. найти зависи-

стоянная интегрирования.

Задача 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xdx ydy 0

Решение.

Перенесем выражение ydy в правую часть уравнения

xdx ydy

Переменные разделены, т.к. коэффициент при dx является

Графически общее решение дифференциального уравнения

представляет собой бесчисленное множество кривых y(x) , отличающихся друг от друга постоянной интегрирования.

30

В данном случае кривые представляют из себя концентрические окружности с центром в начале координат, отличающиеся друг от друга радиусами.

у

х

Задача 2. Найти общее решение дифференциального урав-

Для этого производную неизвестной функции запишем как отношение дифференциалов y dydx . Исходное уравнение запишем

dy y

в виде: dx x .

Так как в подынтегральном выражении дифференциал переменного записывается в числителе, то для возможности дальнейшего интегрирования необходимо обе части уравнения умно-

жить на dx .

dy xy dx

Для разделения переменных необходимо обе части уравнения разделить на y : dyy dxx .

После того, как переменные разделены, интегрируем уравнение:

31

y Cx . То есть решением исходного уравнения является линейная функция с угловым коэффициентом С. На рисунке показано графическое представление общего решения.

у

х

Для нахождения частного решения необходимо в общее ре-

Получаем: 1 C 1, откуда C 1.

Частное решение дифференциального уравнения запишем в виде: y x .

Это уравнение прямой, проходящей под углом 45 через начало координат.

Задача 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

у’=2х2.

Решение.

Основные этапы решения уравнения аналогичны задаче 2. Запишем

y=2/3 x3+C

Докажем, что найденное общее решение действительно является решением уравнения у’=2х2. Для этого найдем производную у’.

y’=(2/3 х3+С)’=2х2

Подставляя у’ в уравнение, получаем 2х2=2х2. Таким образом, функция y=2/3 x3+C при подстановке в уравнение у’=2х2 обращает уравнение в тождество, что и доказывает правильность найденного решения.

32

Задача 4. Найти общее решение дифференциального уравнения

у’=5y.

Решение.

Последовательность решения уравнения аналогична последовательности, указанной в задаче 2.

y dydx dydx 5 у dyy 5dx ln y =5x+C

Здесь также удобно представить постоянную интегрирования С в виде С=lnC1. Тогда получим ln y =5x+ lnC1.

Потенцируя, получим решение y/C1=e5x или y=C1e5x.

Для проверки правильности решения достаточно подставить его в исходное уравнение У’=(С1e5x)’=С1 5 e5x=5(С1e5x).

Получилось тождество 5(С1e5x)=5(С1e5x).

Следовательно, функция y=C1e5x является общим решением данного дифференциального уравнения.

Задачи для самоконтроля.

1) Найти общее решение дифференциального уравнения

х=0.

2) Найти общее решение дифференциального уравнения у’=х+2 и подстановкой проверить правильность найденного решения.

Составление дифференциальных уравнений является сложной задачей, т.к. общих методов составления дифференциальных уравнений нет. Навыки в этой области можно приобрести лишь в результате изучения конкретных примеров.

Рассмотрим некоторые из них.

Задача 5. Зависимость числа нераспавшихся ядер атомов радиоактивного вещества со временем.

В соответствии с простейшей версией закона радиоактивного распада скорость распада, т.е. скорость уменьшения количества нераспавшихся атомов, пропорциональна их количеству N(t) в данный момент времени.

33

Составить дифференциальное уравнение радиоактивного распада, найти общее решение, а также частное решение при условии, что первоначальное (при t=0) количество нераспавшихся атомов равнялось N0.

Решение В аналитической форме закон радиоактивного распада можно

записать в виде:

где N - количество нераспавшихся атомов в данный момент

времени, t - время, - постоянная распада. Знак минус означает, что с течением времени число нераспавшихся атомов уменьшается, а производная убывающей функции отрицательна.

Полученное дифференциальное уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Разделим переменные и проинтегрируем левую часть по переменной N, а правую - по t:

dNN t ; dNN dt ; ln N =- t+ ln C

(В данном случае удобнее представить константу интегрирования С в виде логарифма.)

N Ce t

Полученное выражение является общим решением дифференциального уравнения (1). Чтобы получить частное решение уравнения (1), воспользуемся начальными условиями.

Тогда получим, что С=N0, и частное решение имеет вид:

N N0e t

Полученная зависимость отражает закон изменения числа нераспавшихся атомов со временем.

Задачи для самоконтроля

1)Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна b.

2)Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства. Определить, через какое время после введения в организме останется 10% первоначального количества, если одноразово

34

при t=0 было введено m=9,7 г лекарства. Константа распада лекарственного вещества k = 0,05 час-1.

Задания для выполнения на практическом занятии

1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:

1) у’=tgx 6) у’=у2cosx

эластичными стенками пропорциональна уменьшению давления в этом резервуаре ( dVdt C dPdt , где С - коэффициент эла-

стичности). С другой стороны, по закону Пуазейля для течения вязкой жидкости в трубе постоянного сечения объемная скорость равна отношению давления Р , под действием которого жидкость перемещается, к R -гидравлическому со-

dV P

противлению ( dt R ).

Определить зависимость давления в резервуаре от времени Р(t). Изобразить эту зависимость графически, если начальное давление в резервуаре равно Р0 при t=0.

2) Скорость изменения пороговой силы тока выражается формулой dIdt 1t,122 . Найти закон изменения тока от времени,

если в момент времени t=0,4 мс соответствующее значение тока равно 3,2 мА.

3) Для палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки dl /dt пропорциональна длине клетки l в данный момент. Составить и решить дифференциальное уравнение, считая, что при t=0, l=l0.