2020 Экзамен / ВВЕДЕНИЕ

«Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гибкость ума, для которой нужны вся гибкость и выносливость молодости».

Н. Винер

«Правильному применению

методов можно научиться, только

применяя их на разнообразных

примерах».

Г. Цейтен

ВВЕДЕНИЕ

Интегральное исчисление возникло из задач на определение площадей и объемов. Начала интегральных приемов были впервые созданы Демокритом в V веке до нашей эры. Лучшие достижения древности в этой области принадлежат Архимеду (III век до нашей эры). Именно в III веке впервые в истории науки возникла необходимость в вычислении центра тяжести.

Со II века до нашей эры вплоть до XVI века прогресса в развитии интегрального исчисления не было. Развитие в Европе в XVI веке статики, гидромеханики, астрономии потребовало вычисления площадей и объектов более сложных фигур, нахождения центра тяжести. В 1544 году впервые на латинском и греческом языках были изданы труды Архимеда, их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов в развитии интегрального исчисления.

Дальнейший значительный вклад в развитие интегрального исчисления внесли И. Кеплер (1615 г.), ученик Г. Галилея – Б. Кавальери (1635 г.): Значительно ближе к понятию интеграла подошли Б. Паскаль (1655 г.), П. Ферма (1679 г.)

Алгоритмы современного дифференциального и интегрального исчисления были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Интеграл у Ньютона выступал прежде всего как неопределенный, он установил ряд случаев интегрируемости в конечном виде, в частности, интегрируемость дифференциального бинома (1676 г.)

Г. Лейбниц рассматривал интеграл как определенный, он же ввел современное обозначение интеграла (1686 г.), термин «интеграл» впервые в печати употребил И. Бернулли в 1690 г. после чего в обиход вошло выражение «интегральное исчисление».

При вычислении определенных интегралов с помощью неопределенных Лейбниц и Ньютон пользовались формулой, носящей их имя.

Дальнейшее развитие интегральное исчисление получило в трудах И. Бернулли и особенно Л. Эйлера (1768–1770 гг.). Основным понятием для Эйлера явилось понятие о неопределенном интеграле, как первообразной. Он разработал различные приемы интегрирования в элементарных функциях, круг которых сам Эйлер и выделил.

В пособии рассматриваются основные классы интегрируемых в конечном виде функций и различные способы интегрирования, приводятся краткие теоретические сведения, типовые задачи и примеры. Пособие снабжено большим набором задач для самостоятельного решения. Уровень предлагаемых задач весьма разнообразен: от простейших интегралов до довольно сложных, поэтому пособие предназначено для студентов всех специальностей и направлений бакалаврской подготовки.

5