1.5. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией называется дробь вида , где

, многочлены степеней и соответственно. Дробь называется правильной, если , в противном случае дробь называется неправильной.

Если дробь неправильная, то выделяется целая часть дроби, т.е. , где многочлен степени , – многочлен, степень которого . Поэтому интегрирование неправильной дроби сводится к интегрированию многочлена и правильной дроби

. (1)

Для интегрирования правильной дроби ее раскладывают в сумму простейших дробей. Простейшими дробями называются дроби вида:

1) ,

2) ,

3) , где (т.е. у этого квадратного трехчлена нет действительных корней),

4) .

В сумму каких простейших дробей разложится правильная дробь зависит от корней ее знаменателя.

Если , где различные действительные корни многочлена и натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение дроби (1) на простейшие дроби вида 1) и 2)

(2)

Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества (2) приводят к общему знаменателю и числитель полученной дроби с неизвестными коэффициентами приравнивают . Эти неопределенные коэффициенты можно находить двумя способами:

1. Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях .

2. Придают конкретные значения, а именно, полагают равным значениям корней знаменателя: или другим «удобным» числам.

Пример 29. Найти .

Решение. Имеем:

Отсюда

. (3)

1. Первый способ определения коэффициентов. Перепишем тождество (3) в виде

.

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

.

Отсюда

.

2. Второй способ определения коэффициентов. Полагая

в тождестве (3), будем иметь:

т.е.

Полагая, получим:

, т.е. .

Для нахождения третьего неизвестного коэффициента в качестве «удобного» числа возьмем .

, т.е. .

Следовательно,

Пример 30. Найти .

Решение. Имеем:

и

(4)

При решении этого примера рекомендуется комбинировать два способа определения коэффициентов. Применяя второй способ, полагаем в тождестве (4); получим . Затем, полагая , получим . Далее, применяя первый способ, приравниваем в тождестве (4) коэффициенты при . Будем иметь:

т.е. .

Таким образом,

Следовательно,

Если многочлен имеет комплексные корни кратности , то в разложение (2) дополнительно войдут простейшие дроби вида:

, (5)

где

и неопределенные коэффициенты, определяемые способами, указанными выше.

Дробь вида интегрируется методом, указанным в 1.4.

Если показатель степени знаменателя , то так же выделяется полный квадрат из квадратного трехчлена:

, делается замена и интеграл приводится к виду:

.

Этот интеграл представляется в виде суммы

.

Первый из этих интегралов берется подведением под знак дифференциала

,

где .

Второй интеграл берется методом понижения степени, который рассмотрим на примере.

Пример 31. Найти .

Решение. Добавим и вычтем в числителе , получим

.

У первого интеграла показатель степени в знаменателе равен 1 (понизили степень), он табличный.

Второй интеграл представим в виде:

и возьмем его по частям: , , , отсюда

.

Если показатель степени больше двух, то процедуру интегрирования по частям приходится повторять несколько раз.

Пример 32. Найти .

Решение. Так как

,

то, полагая , получим:

.

Последний интеграл возьмём по частям. Пусть , , , тогда . В результате

.

Окончательно . Заменяя на , получим

.

Пример 33. Найти .

Решение.

.

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем числители:

.

Неопределенные коэффициенты будем находить, комбинируя оба метода

, тогда ; , тогда ;

, тогда .

Неизвестных коэффициентов всего 4, один найден: , для нахождения остальных трех не достает одного уравнения – приравняем коэффициенты при старшей степени. При справа стоит ,

слева – 0, получим 3 уравнения для нахождения трех неизвестных:

Решая систему, находим: ;

;

Здесь первые 2 интеграла – табличные, третий интеграл сводится к табличным после выделения полного квадрата

.

Окончательно получаем:

.

Метод Остроградского. Если знаменатель правильной рациональной дроби имеет кратные корни, особенно комплексные, то интегрирование такой дроби обычно связано с громоздкими выкладками. В этом случае, целесообразно пользоваться следующей формулой Остроградского:

.

В этой формуле – многочлен, имеющий те же корни, что и многочлен , но все корни многочлена – простые. Многочлен = , а и – это некоторые многочлены, степени которых на единицу меньше степеней многочленов и соответственно. Если корни известны, то тем самым известны многочлены и . Для отыскания многочленов и их записывают с неопределенными коэффициентами, которые находят после дифференцирования обеих частей формулы Остроградского.

Пример 34. Найти методом Остроградского

.

Решение. В этом случае поэтому ; . Следовательно, существуют многочлены второй степени: и , для которых верно равенство

.

Рациональная дробь , поэтому .

Дифференцируя обе части этого равенства, получаем

откуда вытекает равенство многочленов:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему

Решая эту систему, находим , , , , , . Итак,

.