1.3. Интегрирование по частям

Пусть производные функций и существуют и непрерывны на заданном интервале. Тогда имеет место равенство

.

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

Поскольку ; , то формулу интегрирования по частям часто записывают в более компактном виде:

.

Метод интегрирования по частям целесообразно применять в тех случаях, когда получающийся в правой части формулы интеграл проще исходного либо подобен ему.

Рассмотрим ситуации, стандартные для этого метода.

1. Интегрирование по частям применяется к интегралам вида

,

где – многочлен, а – одна из функций , , тогда полагают , а . В этом случае интегрирование по частям применяется столько раз, какова степень многочлена .

Пример 15. Найти интеграл .

Решение.

тогда

Вновь и

получаем ответ

.

2. Интегрирование по частям применяется к интегралам того же вида, но многочлен, а одна из трансцендентных функций: и т.д.

Тогда полагают а .

Пример 16. Найти интеграл

Полагаем

Тогда получим

3. Интегрирование по частям применяется к интегралам от произведений показательной функции на или . Рассмотрим это на примере.

Пример 17. Найти .

Решение.

.

Заметим, что в правой части мы получили исходный интеграл со знаком минус. В результате пришли к уравнению для искомого интеграла.

,

откуда

.

В этом примере можно было взять , . Важно чтобы в каждом шаге интегрирования по частям за была взята тригонометрическая функция, если в первом шаге , или в каждом шаге интегрирования по частям . Кроме перечисленных ситуаций интегрирование по частям позволяет вычислять достаточно сложные интегралы. В этих нестандартных ситуациях приходится решать, какую функцию взять за , а какую взять за . Ясно, что по функции нам приходится находить , т.е. за надо брать по крайней мере легко интегрируемую функцию.

Пример 18. Найти .

Решение. Возьмем , тогда ,

; .

Опять справа получили искомый интеграл со знаком минус, поэтому

.

Интегралы , , можно найти с помощью тригонометрических подстановок, но они берутся также интегрированием по частям. Продемонстрируем это на примерах.

Пример 19. Найти .

Решение. Обозначим , тогда , .

выражение перенесем влево, получим

,

отсюда

.

Пример 20. =

,

отсюда, как и в примере 19,

.

В предыдущих параграфах мы рассмотрели основные методы интегрирования. Далее рассмотрим методы интегрирования определенных классов функций.

1.4. Простейшие интегралы, содержащие квадратный трехчлен

. Интеграл вида вычисляются выделением полного квадрата из квадратного трехчлена . После этого, если коэффициент , то этот интеграл сводится к табличному интегралу 3 или 4. Если же то к указанным интегралам добавится интеграл вида

.

Исключение составляет ситуация, когда . В этом случае

.

Пример 21. Найти .

Решение.

.

Пример 22. Найти .

Решение. .

Обозначим , отсюда и .

Следовательно,

Пример 23. Найти .

Решение. . Обозначим , тогда . В результате получим

.

. Интегралы вида вычисляются выделением полного квадрата в знаменателе. (Исключение составляет ситуация, когда , тогда можно воспользоваться методом внесения под знак дифференциала).

Рассмотрим соответствующие примеры

Пример 24. Найти .

Решение.

.

Пример 25. Найти .

Решение. . Обозначим тогда .

.

Пример 26. Найти .

Решение. , поэтому

.

. Интегралы вида вычисляются с помощью обратной подстановки , которая приводит их к интегралам вида .

Пример 27. Найти .

Решение. Полагаем

,

отсюда

.

Имеем:

.

. Интегралы вида путем выделения из квадратного трехчлена полного квадрата сводятся к одному из следующих основных интегралов:

1) ,

2) ,

3) .

Пример 28.

.