2020 Экзамен / Определенные интегралы

В более общем случае, если площадь S ограниченная двумя непрерывными кривыми y = f1(x) и y = f2 (x) и двумя вертикалями

x = a и x =b, где f1(x)≤ f2 (x) при a ≤ x ≤b (рис.5), то будем иметь:

(рис.6).

Решение. Решая совместную систему уравнений (3), находим пределы интегрирования: x1 = −1 и x2 =1. В силу формулы (2) полу-

чим:

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x = ϕ(t), y = ψ (t), то площадь криволинейной трапеции, ограничен-

ной этой кривой,

двумя вертикалями, соответствующими x = a и x =b, и отрезком оси OX , выражается интегралом

S = t∫2 ψ (t)ϕ2 (t)dt2 ,

t1

40

Решение. Ввиду симметрии достаточно вычислить площадь одной четверти, а затем учетверить результат. Полагая в уравнении x = acost сначала x = 0, затем x = a , получим пределы интегрирова-

ния t1 = π2 и t2 = 0 . Поэтому

2

и, следовательно, S = πab .

2 . Площадь в полярных координатах.

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением r = f (ϕ), то площадь

S= 1 ∫β (f (ϕ))2 dϕ.

2 α

Пример 5. Найти площадь, заключенную внутри лемнискаты

Бернулли r2 = a2 cos2ϕ (рис.9).

Решение. В силу симметрии кривой определяем сначала одну четверть искомой площади

41

мой площади равна сумме площадей криволинейных секторов OmA1O и OA1nO . В первом секторе полярный угол изменяется от 0 до

42

§ 6. Длина дуги кривой

1 . Длина дуги в прямоугольных координатах.

Длина S дуги гладкой кривой y = f (x), содержащейся между

Рис. 12

Рис. 11

Решение. Дифференцируя уравнение астроиды, получим:

1

y′ = − y13 .

x3

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем:

2 . Длина дуги кривой, заданной параметрически. Если кривая задана уравнениями в параметрической форме x =ϕ(t) и y = ψ(t)

43

s = ∫r2 + r′2 dϕ,

α

где α и β – значение полярного угла в крайних точках дуги (α <β).

Пример 3. Найти длину всей кри-

вой r = asin3 ϕ3 (рис.13). Вся кривая

описывается точкой (r,ϕ) при изменениях ϕ от 0 до 3π.

44

§ 7. Объемы тел

1 . Объем тела вращения. Объемы тел, образованные вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью

OX и двумя вертикалями x = a и x =b, вокруг осей OX и OY , выражаются соответственно формулами:

Объем тел, образованного вращением около оси OY фигуры, ограниченной кривой x = g(y), осью OY и двумя параллелями y = c

и y = d (c < d ), можно определить по формуле:

d

VY = π∫x2 dy,

c

получающейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановки координат x и y .

Если кривая задана в иной форме (параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

a

45

VY = 2πb∫x(y2 − y1 )dx .

a

Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением круга x2 +(y −b)2 ≤ a2 (b ≥ a) вокруг оси OX (рис.14).

Решение. Имеем:

y1 =b −a2 − x2 и y2 =b + a2 − x2 .

Поэтому

VX =π−∫aa (b + a2 − x2 )2 −(b −a2 − x2 )2 dx = 4πb−∫aa a2 − x2 dx = 2π2a2b.

(последний интеграл берется подстановкой x = asint ).

Объем тела полученного при вращении сектора, ограниченного дугой кривой r = F (ϕ) и двумя полярными радиусами ϕ =α, ϕ = β

(α <β), вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

VP = 2π ∫β r3 sinϕ dϕ.

3 α

Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Рис.14

Рис.15

46

§ 8. Площадь поверхности вращения

(ds −дифференциал дуги кривой).

В случае иного задания уравнения кривой площадь поверхности SX получается из формулы (1) путем соответствующей замены пере-

менных.

Пример 1. Найти площадь поверхности, образованной вращени-

lim un+1

n→∞ un

ем вокруг оси OX петли кривой 9y2 = x(3 − x)2 (рис.16).

47

Решение. Для верхней части кривой при 0 ≤ x ≤3 имеем: y = 13(3 − x)x. Отсюда дифференциал дуги ds = 2x +x1dx. На основании формулы (1) площадь поверхности

симметрии (рис.17).

Решение. Искомая поверхность образуется вращением дуги OA вокруг прямой AB , уравнение которой x = πa. Принимая y за неза-

висимую переменную и учитывая, что ось вращения AB сдвинута относительно координатной оси OY на расстояние πa, будем иметь:

S = 2π2∫a (πa − x)ds dy. 0 dy

Переходя к переменной t , получим:

48