2020 Экзамен / Обыкновенные дифференциальные уравнения
.pdfy ′ = A; |
y ″ = 0; |
1 |
1 |
Ax + B = x; A=1; B = 0; |
|
Итого: y1 |
= x; |
|
|
|
2. Для функции f2(x) решение ищем в виде: y |
= xr eαx (Q (x)cosβx +Q |
2 |
(x)sin βx) . |
|
2 |
1 |
|
|
|
Анализируя функцию f2(x), получаем: P1 (x) = 0; |
P2 (x) = −1; |
α = 0; β = 2; r = 0; |
||
Таким образом, y2 = C cos 2x + Dsin 2x;
y2′ = −2C sin 2x + 2D cos 2x; y2″ = −4C2cos x − 4D sin 2x;
−4C cos 2x − 4Dsin 2x +C cos 2x + Dsin 2x = −sin 2x;
−3C cos 2x −3Dsin 2x = −sin 2x
A= 0; B = |
1 |
; |
|
3 |
|
Итого: y2 = 13 sin 2x;
Т.е. искомое частное решение имеет вид: y = y1 + y2 = 13 sin 2x + x;
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
y = 13 sin 2x + x +C1 cos x +C2 sin x;
Рассмотрим примеры применения описанных методов.
Пример. Решить уравнение y′′− 2y′+ y = 3ex .
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
k2 − 2k +1−0; |
k = k |
2 |
=1; |
|
1 |
|
Общее решение однородного уравнения: y = C1ex +C2 xex . Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
y = xr eαxQ(x)
α =1; r = 2; Q(x) = C;
y = Cx2ex .
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
y′ = 2Cxex +Cx2ex ; y′′ = 2Cex + 2Cxex + 2Cxex +Cx2ex .
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
2Cex + 4Cxex +Cx2ex − 4Cxex − 2Cx2ex +Cx2ex = 3ex .
|
2C = 3; |
C = |
3 . |
|
3 x2ex . |
|
2 |
Частное решение имеет вид: y = |
|
|
|
|
2 |
|
|
Общее решение линейного неоднородного уравнения: y = C1ex +C2 xex + 32 x2ex .
Пример. Решить уравнение y′′′− y′ = x2 −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Характеристическое уравнение: k3 − k = 0; |
k(k2 |
−1) = 0; |
k = 0; k |
2 |
=1; |
k = −1; |
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
Общее решение однородного уравнения: y = C +C |
ex |
+C |
e−x . |
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Частное решение неоднородного уравнения: y = xr eαxQ(x) . |
|
|
|
|
||||||
α = 0; r =1; Q(x) = Ax2 + Bx +C. |
|
|
|
|
||||||
y = Ax3 + Bx2 +Cx |
|
|
|
|
|
|
||||
Находим производные и подставляем их в исходное неоднородное уравнение: |
||||||||||
y′ = 3Ax2 + 2Bx +C; |
y′′ = 6Ax + 2B; |
y′′′ = 6A; |
|
|
|
|
||||
6A−3Ax2 − 2Bx −C = x2 −1; |
|
|
|
|
|
|||||
−3A=1; − 2B = 0; 6A−C = −1; |
|
|
|
|
||||||
A = −1 ; |
B = 0; C = −1; |
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения: y = C1 +C2ex +C3e−x − 13 x3 − x.