9493_Старикова_ТОЭ_3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ТОЭ

отчет

по лабораторной работе №3

по дисциплине «Теоретические основы электротехники»

Тема: Исследование свободных процессов в электрических цепях

Студентка гр. 9493		Старикова А.С.
Преподаватель		Панкин В.В.

Санкт-Петербург

2021

Цель работы.

Изучение связи между видом свободного процесса в электрической цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности - контура по осциллограммам.

Основные теоретические положения.

В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рис. 3.1 и рис. 3.2. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока , заряжающими емкость . В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен ( ).

а б

Рис. 3.1

Рис. 3.2

В линейных цепях свободный процесс описывается однородными линейными дифференциальными уравнениями и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи ). При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи :

а) для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1,а , откуда

; (3.1)

б) для цепи второго порядка, представленной на рис. 3.1, б , откуда

, , ; (3.2)

в) для цепи третьего порядка, представленной на рис. 3.2 откуда

, , .(3.3)

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

,

где – постоянные интегрирования, – порядок цепи.У цепи первого порядка одна собственная частота (3.1), вещественная и отрицательная, свободный экспоненциальный процесс имеет вид

(3.4)

где – постоянная затухания, – постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма свободного процесса показана на рис. 3.3, а, причем – интервал времени, соответствующий любой подкасательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (3.2) могут быть разными вещественными различными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 3.3, б), кратными вещественными (критический режим) или комплексно-сопряженными (колебательный режим). Вид критического процесса близок к диаграмме, показанной на рис. 3.3, б, причем момент достижения максимума , если . Комплексно-сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:

, (3.5)

где – постоянная затухания, – частота затухающих колебаний ( ). Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 3.3, в.

Дальнейшее увеличение порядка цепи к качественно новым явлениям не приводит. Так, согласно (3.3), в схеме, изображенной на рис.3.2, собственные частоты могут быть либо три вещественные, либо одна вещественная и две комплексно-сопряженные, например, и . Временная диаграмма свободного процесса представлена на рис. 3.3, г – это сумма экспоненты (см. пунктир) и затухающей синусоиды.В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3.4) по рис. 3.3, а можно рассчитать постоянную затухания

(3.6)

Для случая рис. 3.3, в постоянная затухания также может быть определена на основании (3.6), но при этом обязательно выполнение условия , что вытекает из (3.5).

а б

в г

Рис. 3.3

В случаях рис. 3.3, б,г найти собственные частоты можно лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдельные составляющие процесса.

Особый интерес для контуров представляет определение добротности по виду свободного процесса в них. Так для последовательного контура добротность определяется выражением

(3.7)

где – частота незатухающих колебаний в идеальном контуре ( ). Согласно (3.2) собственные частоты последовательного контура можно записать следующим образом:

, (3.8)

причем соответствует апериодический режим, – критический режим, – колебательный режим, а –незатухающий колебательный режим.

При с высокой степенью точности можно считать

(3.9)

С учетом (3.6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме рис. 3.3, в, имеет вид

(3.10)

Для повышения точности можно брать отношения напряжений за периодов колебаний:

(3.11 )

Обработка результатов эксперимента.

1. Исследование свободного процесса в цепи первого порядка

Расчет собственной частоты:

= 8.878 V

= 6.575 V

∆T = 28.409* (с)

Можно сделать вывод о том, что найденная частота соответствует практической с минимальной погрешностью.

Im

-10000

Re

2. Исследование свободных процессов в цепи второго порядка

Апериодический режим:

Im

Re

-100000 -20000

Длительность свободного процесса апериодического режима:

Колебательный режим:

Im

+43589j

Re

-10000

-43589j

Длительность свободного процесса колебательного режима:

= 5.984V

= 1.650V

T = 153.409 (мкс)

Критический режим:

Im

+26532j

-36000 Re

-26532j

Колебательный режим при высокой добротности:

= 18.427V

= 12.886V

Im

+44721j

Re

-44721j

3. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка

Нахождение собственных частот:

Теоретическое исследование

Im

+56125j

-25000 -10000 Re

-56125j

Из этой осциллограммы можно сделать следующий вывод: она соответствует точке перехода из колебательного процесса в периодический. При этом

Вывод:

Форма реакции цепи зависит от вида собственных частот, если вещественные – апериодический режим, если комплексно-сопряженные – периодический режим, если кратные – критический апериодический режим. Результаты аналитических расчетов не совпадают с данными осциллограмм, так как цепь неидеальна.