Теория верятностей в примерах и задачах

Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Математическая статистика

Файл:

x2 2x(y 2) + 4(y 2)2

f ; (x; y) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

350.17 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Воспользовавшись свойствами математического ожидания, получим эквивалентную формулу для вычисления ковариации:

cov( ; ) = M ( ) M M :

Размерность равна произведению размерностей случайных величин, поэтому в качестве числовой характеристики зависимости удобнее иметь дело с безразмерной величиной, а именно коэффициентом корреляции.

Определение 2.3.3. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется отношение их ковариации (корреляционного момента) к произведению их средних квадратических отклонений:

	cov( ; )					cov( ; )
; =	p		p		=		:

		D		D

Свойства коэффициента корреляции:

1. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит 1, т. е. j ; j 1 или 1 ; 1.

2.Если и независимы, то ; = 0.

3.Если и связаны линейной зависимостью, т. е. = a + b, то

j ; j = 1, причем при a > 0 имеем ; = 1 и при a < 0 имеем ; = 1. Заметим, что коэффициент корреляции характеризует меру именно

линейной зависимости. Случайные величины могут быть сильно, но не линейно связаны при коэффициенте корреляциии, равном нулю.

Определение 2.3.4. Случайные величины называются некоррелированными, если их ковариационный момент, а соответственно и коэффициент корреляции равен нулю.

Если случайные величины независимы, то они и некоррелированные. Обратное неверно.

Пример 2.3.2. Дана таблица распределения дискретного случайного

вектора	n	-1	0	1
вектора	0	1/4	3/16	1/4	.

11/8 1/16 1/8

Найдите законы распределения и , корреляционный момент и коэффициент корреляции. Являются ли и независимыми случайными величинами?

Решение. Найдем закон распределения . Для этого просуммируем вероятности в строках

P ( = 0) = 1=4 + 3=16 + 1=4 = 11=16:

P ( = 1) = 1=8 + 1=16 + 1=8 = 5=16:

Ряд распределения имеет вид:	i	0	1
	pi	11/16	5/16

Вычислим математическое ожидание :

M = 0 11=16 + 1 5=16 = 5=16:

Аналогично найдем закон распределения . Для этого просуммируем

вероятности в столбцах
P ( = 1) = 1=4 + 1=8 = 3=8;	P ( = 0) = 3=16 + 1=16 = 1=4;
P ( = 1) = 1=4 + 1=8 = 3=8:
			0	1
Ряд распределения имеет вид	i	-1	0	1	.
Ряд распределения имеет вид	pi	3/8	1/4	3/8	.
	pi	3/8	1/4	3/8
Вычислим математическое ожидание		:
M = 1 3=8 + 0 1=4 + 1 3=8 = 0:
Найдем корреляционный момент:

cov( ; ) = M M M = 0 ( 1) 1=4 + 0 0 3=16 + 0 1 1=4 +1 ( 1) 1=8 + 1 0 1=16 + 1 1 1=8 5=16 0 = 1=8 1=8 0 = 0:

Коэффициент корреляции тоже равен нулю и, следовательно, компоненты случайного вектора и некоррелированы. Проверим, являются лии независимыми:

P ( = 0; = 1) = 1=4;

P ( = 0) P ( = 1) = 11=16 3=8 = 33=128 6= 1=4;

значит и зависимые, но некоррелированые.

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана таблица распределения дискретного случайного вектора

n	-2	-1	1	Являются ли его координаты
2	0; 3	0; 1	0; 05	независимыми? Найдите коэф-
				фициент корреляции.
4	0; 15	0; 15	0; 25	фициент корреляции.

2. Дана таблица распределения дискретного случайного вектора.

n	-1	1	2	Являются ли его координаты

3	1=16	1=64	3=64
				независимыми? Найдите коэф-

2	1=8	1=32	3=32
				фициент корреляции.

15=16 5=64 15=64

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. Зависимы, 0; 4215. 2. Независимы, 0.

2.4. Случайный вектор с абсолютно-непрерывным распределением

Рассмотрим только случай двумерного абсолютно непрерывного случайного вектора с компонентами ( ; ).

Определение 2.4.1. Случайный вектор ( ; ) называется абсолютно непрерывным, если существует такая функция f ; (x; y), называемая совместной плотностью распределения вероятности ( ; ) или плотностью распределения случайного вектора, что для любого борелевского множества [1] A R2 (в частности для любой области)

P (( ; ) 2 A) =	f ; (x; y)dxdy:
	A

Плотность распределения случайного вектора обладает следующими свойствами:

1.f ; (x; y) 0

2.Условие нормировки:

+1 +1

f ; (x; y)dxdy = 1

1 1

Зная плотность распределения случайного вектора, можно определить плотность распределения вероятности каждой из компонент:

	+1			+1
f (x) =	Z	f ; (x; y)dy;	f (y) =	Z	f ; (x; y)dx
	1			1

и функции распределения вероятности компонент вектора и :

F (x) =	x	0 +1f ; (t; y)dy1dt;		F (y) =	y	0 +1f ; (x; s)dx1ds:
	Z	Z	A		Z	Z	A
	1 @ 1				1 @ 1

Определение 2.4.2. Случайные величины и называются независимыми, если для любых x; y события < x и < y являются независимыми, т. е.

P ( < x; < y) = P ( < x) P ( < y):

Чтобы случайные величины и были независимы, необходимо и достаточно, чтобы в точках непрерывности функция плотности распределения вероятности вектора ( ; ) была равна произведению функций плотности распределения вероятности и .

f ; (x; y) = f (x) f (y):

Пример 2.4.1. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины

(

C(x2 + y2); 0 x 1; 0 y 1;

f ; (x; y) =

0; (x; y) 2= [0; 1] [0; 1]:

Найти C, f (x), f (y), M , M , , . Выяснить, зависимы ли и .

Решение. Коэффициент C находим из условия

+1 +1

f ; (x; y)dxdy = 1:

1 1

1	1				1				1
C Z	dx Z (x2 + y2)dy = C Z					dx (x2y +					y3	) 0 =
C Z	dx Z (x2 + y2)dy = C Z					dx (x2y +					3	) 0 =
0	0				0

	1	1			x3		x	1	2
= C Z (x2 +				)dx = C (		+		) 0 =		C = 1:
= C Z (x2 +			3	)dx = C (	3	+	3	) 0 =	3	C = 1:
	0

Получаем C = 32.

Для вычисления числовых характеристик компонент случайного вектора найдем их плотности вероятности. При x 2 [0; 1]

+1					3			1													3												y3				1				3x2											1
f (x) = Z	f ; (x; y)dy =							Z (x2 + y2)dy =																		(x2y +										) 0 =											+
f (x) = Z	f ; (x; y)dy =					2		Z (x2 + y2)dy =														2				(x2y +							3			) 0 =					2						+					2
1								0
1

и f (x) = 0 при x 2= [0; 1]. Из симметричности формулы и области следует,
	2	+ 21 при y 2 [0; 1] и f (y) = 0 при y 2= [0; 1] Зная плотности
что f (y) = 3y2
вероятности и можно найти математические ожидания:
	+1				3			1						1								3 x4										x2					1		3 1 1															5
M = M = Z		xf (x)dx =							Z	x(x2+							)dx =										(			+					) 0 =								(			+					) =					:
M = M = Z		xf (x)dx =					2		Z	x(x2+					3		)dx =						2				(	4		+		6			) 0 =					2			(		4	+				6	) =			8		:
	1							0
	1
Вычислим M( 2) = M( 2):
+1		3			1					1									3 x5												x3 1						3 1 1															7
M( 2) = Z	x2f (x)dx =			Z				x2(x2+						)dx =							(								+					) 0 =					(					+					) =						:
M( 2) = Z	x2f (x)dx =		2	Z				x2(x2+				3		)dx =						2	(				5				+		9			) 0 =				2	(			5		+				9	) =				15		:
1		0
1
																					2													2		:
Найдем дисперсию по формуле D = M(																								) (M )												:
								7		5				2				73
		D = D =								(			)			=						0; 076:
		D = D =						15		(	8		)			=		960				0; 076:

Cредне квадратические отклонения:

= = D 0; 076 0; 276:

Случайные величины и не являются независимыми, так как плотность распределения вероятности вектора ( ; ) не равна произведению

плотностей распределения вероятности и . Например, при 0 x 1,

0 y 1

32(x2 + y2) 6= (3x22 + 12)(32y2 + 12):

Определение 2.4.3. Для непрерывных случайных величин ковариация равна:

+1 +1

cov( ; ) = M(( M )( M )) =	(x M )(y M )f ; (x; y)dxdy:
1 1
Можно также использовать формулу

+1 +1

	cov( ; ) = M( ) M M =									1 1				xyf ; (x; y)dxdy M M :
										1 1
		Пример 2.4.2. Для случайных величин и из предыдущего при-
мера найти ковариацию.
		Решение. Найдем M( ) :
					+1 +1								1			1			xy(x2 + y2)dxdy =
			M( ) = Z			Z		xyf ; (x; y)dxdy = 2 Z Z											xy(x2 + y2)dxdy =
													3
					1 1										0	0
1					2		4	1	1											4			2	1
= 2 Z					2		4	1	2 Z (x3	2+x		4)dx =				2				4			2	1	2(8+8) =	8
= 2 Z			dx (x3 2 + x			4 ) 0 =			2 Z (x3	2+x		4)dx =				2		( 8			+ 8 ) 0 =				2(8+8) =	8
3				y		y			3	1		1					3 x					x			3 1 1	3
0									0

и ковариацию										3		25				1
								cov( ; ) =		3		25		=		1			:

											8	64				64

Пример 2.4.3. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины

(

C; (x; y) 2 D;

f ; (x; y) =

0; (x; y) 2= D

где D четверть круга x2 + y2 1, в которой x 0, y 0.

Найти f (x), f (y), M , M , , . Выяснить, зависимы ли и .

Решение. Из условия нормировки C =

. При x 2 [0; 1]

1 x2

dy =

1 x2;

f (x) = Z

f ; (x; y)dy =

при x 2= [0; 1] f (x) = 0.

Аналогично, при y 2 [0; 1]; f (y) = 4 p1 y2, при y 2= [0; 1]; f (y) = 0.

					+1						1
			M =				xf (x)dx =					4 xp					1 x2						dx
					R1						R
											0
			1												1 x2								3	1
			= 2 0 p1 x2d(1 x2) = 34												1 x2								2	0 = 34 :
			R
Аналогично M =					4	.
Аналогично M =						.
				3
					+1									1
		M( 2) = M( 2) = Z							x2f (x)dx = Z									x2 1 x2dx =
															4
						1								0							p
						1
		=2						=2											=2
	4	Z			1			Z						1					Z
=			sin2tcos2tdt =						sin2(2t)dt =													(1 cos(4t))dt =
=			sin2tcos2tdt =						sin2(2t)dt =							2						(1 cos(4t))dt =
		0						0										0
			= 2								= 2							2 = 4;
			= 2		(t 4 sin(4t)) 0						= 2							2 = 4;
			1		1					2				1									1

					2				2		1							4				2
			D = D = M(					) (M )			=				(					)			0; 070;
			D = D = M(					) (M )			=		4		(			3		)			0; 070;

= = D 0; 264:

Найдем ковариацию:

											+1 +1
				M( ) = Z											Z		xyf ; (x; y)dxdy = ZZD xydxdy =
																														4
						p				1 1																	p

																													1	x2
	4			1			1 x				2							4				1		y2					1	x2			2		1
=	4		0	1	0		1 x					ydy =						4		0		1	x	y2							dx =		2	0	1
=		Z	0	xdx	0							ydy =								0			x	2		0					dx =			0	x(1 x2)dx =
		Z			Z														Z															Z
					2			x	2				x	4			1			2			1							2 1		1
				=				2					4			0		=			2					4	=			4 =		2	0; 160;

																				1						4			2
																				1						4		0; 021;
									cov( ; ) =
									cov( ; ) =											2					3

Задачи для самостоятельного решения

1. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины

(

Cx2y2; (x; y) 2 [0; 1] [0; 1];

f ; (x; y) =

0; (x; y) 2= [0; 1] [0; 1];

Найти C, M , M , , , ; . Выяснить, зависимы ли и .

2. Плотность распределения двумерной случайной величины

(

C(x + y); (x; y) 2 [0; 1] [0; 1];

f ; (x; y) =

0; (x; y) 2= [0; 1] [0; 1];

Найти C, M , M , , , ; . Выяснить, зависимы ли и .

3.Случайный вектор распределен равномерно в D полукруге: x2 + y2 1, y 0. Найти f ; (x; y), f (x), f (y), M , M , , , ; . Выяснить, зависимы ли и .

4.Плотность распределения двумерной случайной величины

f	(x; y) =	1	exp	1	(x 3)2	+	(y 5)2
		12		2	4		9
;

Найти M , M , , , ; . Выяснить, зависимы ли и .

5. Плотность распределения двумерной случайной величины

Найти M , M , , , ; . Выяснить, зависимы ли и .

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1. C = 9; M = M = 34; = = 4p35 0; 194; ; = 0. Независи-

мы.

2.C = 1; M = M = 127 0; 583; = = 1211 0; 276; ; =

111 0; 091. Зависимы.

3.M = 0; M = 34 0; 424, = 0; 5; 0; 264; ; = 0. Зависимы.

4.M = 3; M = 5; = 2; = 3; ; = 0. Независимы.

5.M = 0; M = 2; = 1; = 0; 5; ; = 0; 5. Зависимы.

2.5.Неравенство Чебышева

Теорема 2.5.1. Пусть случайная величина имеет математическое ожидание M и дисперсию D . Для любого " > 0 справедливо неравенство Чебышева:

P (j M j ") "2 :

Это неравенство определяет верхнюю границу вероятности того, что отклонение значения случайной величины от ее математического ожидания не меньше некоторого заданного числа ". Примечательно, что такая оценка дается для случайной величины, распределение которой неизвестно, известны лишь ее математическое ожидание и дисперсия.

На практике часто используется следствие из этого неравенства:

Следствие 1.

P (j M j < ") 1 "2 :

Пример 2.5.1. В 350 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оцените вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов не превысит 10.

Решение. Известно, что число успехов распределено по закону Бернулли, поэтому математическое ожидание и дисперсия числа успехов равны

M = np = 350 0; 7 = 245;

D = npq = 350 0; 7 0; 3 = 73; 5:

Применяя неравенство Чебышева, получим

P (j 245j < 10) 1 73; 5 = 1 73; 5 = 0; 265: 102 100

Пример 2.5.2. Для освещения придомовой территории многоквартирного дома 20 ламп накаливания были заменены на такое же количество светодиодных светильников с датчиками движения. Вероятность того, что в течение 10 лет светильник не выйдет из строя, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оцените вероятность того, что за 10 лет абсолютная величина разности между числом светильников, не вышедших из строя, и математическим ожиданием числа светильников, проработавших безотказно, окажется а) меньше 3; б) не меньше 3.

Решение. Обозначим через дискретную случайную величину число светильников, не вышедших из строя за 10 лет. Тогда

M = np = 20 0; 8 = 16;

D = npq = 20 0; 8 0; 2 = 3; 2:

Воспользуемся неравенством Чебышева:


P (j 16j < 3) 1	3; 2	= 1		3; 2	0; 64:

	32			9
P (j 16j 3)		3; 2	0; 36:

		32

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математическая статистика

#
28.05.2022415 б1ВНИМАНИЕ! ЧЕЛКАК ПОЛОЖИТ НА ВАС БОЛТ!.txt
#
28.05.20221.83 Кб1Первое задание.txt
#
28.05.2022527.02 Кб15Теория вероятностей, лекции.pdf
#
28.05.2022350.17 Кб27Теория верятностей в примерах и задачах.pdf