Третий семестр (вечерка) / Лекции / 6. Глава числовые ряды 3-4

1

§2 Свойства и алгоритм исследования числового ряда.

Числовой ряд

Из определения (1) и представления числового ряда в виде

следует СВОЙСТВО: « числовой ряд и остаток ряда сходятся и расходятся ОДНОВРЕМЕННО !!». (2)

АЛГОРИТМ исследования числового ряда : [I] →[II].

[I] Установить сходимость или расходимость ряда: - либо по определению (1), - либо используя «признак СХ/РХ числового ряда». 1.1 Необходимый (но НЕ достаточный) признак сходимости ряда:

Достаточный признак расходимости: (3)

1.2 Признак «сравнения» положительных рядов.

Из МА: «Монотонно возрастающая и ограниченная СВЕРХУ функция имеет предел»: _(**)

Пусть a_n>b_n>0  Пусть Из определений (1) и (**) следует

Теорема (Признак «сравнения» положительных рядов). 1) «Если ряд сходится сходится ряд и его сумма ограничена СВЕРХУ: S(b_n) < S(a_n).

2) «Если ряд расходится, расходится и ряд

[I] →[II] Для сходящегося ряда найти «оценку суммы ряда

с заданной погрешностью εps>0» ⇔ интервал :

Оценку суммы сходящегося ряда в виде интервала получают на основании определения (1) и свойства (2):

Например, если положительный ряд сходится

и найдена оценка суммы его остатка , оценка суммы ряда имеет вид: , при этом

- все вычисления выполняются «в полной разрядной сетке»,

- левый конец интервала округляется «по недостатку»,

- правый конец интервала округляется «по избытку»:

§3 Признаки Даламбера и Коши сходимости положительного ряда.

Рассмотрим для положительного числового ряда два предела при n→∞: - предел отношения последующего члена ряда к предыдущему и - предел арифметического корня lim( ).

Теоремы(признаки Даламбера и Коши).

«Если для положительного ряда существует при n→∞ предел

ТО ч. ряд

Док-во теорем основано на определении предела функции

,

на достаточном признаке расходимости ряда (lim(a_n)≠0 ⇨ РХ ) и на признаке «сравнения» положительных рядов (а)

(b) Пусть

⇔n ≥ N₀

q q₀

ПРИЗНАК Даламбера ↓↓ || || Признак Коши ↓↓

Таким образом, если положительный ряд сходится и для любого q_o∊(q;1) имеют место ОЦЕНКИ суммы R_n остатка ряда и суммы ряда S:

Замечания.

1. Признак Даламбера предпочтителен для рядов, общий член которых содержит факториалы.

2.Признак Коши предпочтителен для рядов, общий член которых содержит показательные функции . 3. Признаки Даламбера и Коши «не работают» для рядов со степенной зависимостью , для которых

q=1:

Примеры.

1)

2)

3)

4)

§4 Интегральный признак сходимости. Интегральная оценка суммы ряда.

Рассмотрим положительную числовую последовательность , положительную числовую функцию a(x): a(x=n∊N)=a_n, x∊[1;∞) и соответствующие им числовой ряд и несобственный интеграл .

Теорема (интегральный признак сходимости/расходимости положительного ряда).

«Положительный числовой ряд : (1) сходится и расходится одновременно с несобственным интегралом , (2) для сходящегося ряда имеют место - «интегральная оценка» суммы остатка ряда и - «интегральная оценка» суммы ряда

Док-во теоремы (+1) следует из сравнения на промежутках [1;n] и [n;∞) площадей криволинейной трапеции S_KT (0≤ у ≤ а(х)), вписанной S_ВП и описанной S_ОП ступенчатых фигур, образованных прямоугольниками высотой h=a_К и шириной ∆k = 1, k∊N:

[1;n]: S_ОП = a1+a₂+..+a_n-1 = S_n-1 >S_KT > S_ВП = a₂+a₃+..a_n = S_n - a₁, (1) [n;∞): S_KT S_ВП (2)

a(x)

a₁

a_n-1

a₂

a_n

a_n+1

x

n

1

2

3

n-1

n+1