Третий семестр (вечерка) / Лекции / 3. Параграф 8. НЛДУ-2 с постоянными коэффициентами. Метод «вариации постоянных»

3

§8 НЛДУ-2 с постоянными коэффициентами. Метод «вариации постоянных».

ИЗВЕСТНО:

(1) Алгоритм метода «вариации постоянной» для НЛДУ-1: y’(x)+a(x)y(x)=g(x)  -ДУРП  y_O(x,C) = C∙φ_O(x) – общее решение ОЛДУ II] Общее решение НЛДУ-1 находится методом «вариации постоянной».

(2) Общее решение ОЛДУ-2 =============================================================================

Рассмотрим НЛДУ-2 с постоянными коэффициентами

y’’(x)+a∙y’+b∙y=f(x) – НЛДУ-2 (1)

Рассмотрим метод «вариации постоянных» нахождения общего решения НЛДУ-2.

АЛГОРИТМ метода «вариации постоянных» нахождения общего решения НЛДУ-2.

[I] По корням характеристического полинома ЛДУ-2 (1.) находятся частные решения ОЛДУ (2.) и его общее решение : 1.→2.→ 3.

(2)

[II Решение НЛДУ-2 (1) ищется в виде

y(x)= C₁(x)∙φ₁(x)+ C₂(x)∙φ₂(x) (3)

Поскольку искомая функция y(x) «связана» одним уравнением (1), а выражается через две функции (3), наложим на эти дифференцируемые функции дополнительное условие

(4)

После подстановки (3) в НЛДУ (1) с учётом (2) и (4)

для функций С₁'(х) и С₂'(х) получим Систему Линейных Алгебра Уравнений (СЛАУ):

Таким образом, общее решение НЛДУ-2 :

ПРИМЕР. [II] Общее решение НЛДУ-2 10.342

Решение СЛАУ Замечания. 1) Общее решение НЛДУ представляет аддитивную сумму общего решения соответствующего ОЛДУ и частного решения НЛДУ . 2) Решение задачи Коши

y"(x) + 3y'(x) +2y(x) = 1/(e^x+1) p² +3p +2=(p-1)(p-2)

---------------------------------- --------------------------------------------------------------------------