Второй семестр (вечерка) / Практика / 8. Практика по неопределенному интегралу

6

[I] ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ, НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ.

f(x)		f(x)
1. xa a¹-1 1, x,	xa+1/(a+1); x,x2/2,	8. 1/sin(x)	ln(ïtg(x/2)ï)
2. 1/x	ln(|x|); x∊R\{0}	9. 1/cos(x)	ln(ïtg(x/2+p/4)ï)
3. ax ; a>0 ex	ax/ln(a) ex	10.	a≠ 0
4. sin(x)	- cos(x)	11.	; a≠ 0 «двухэтажный логарифм»
5. cos(x)	sin(x)	12.	;a≠0 «длинный логарифм»
6. 1/cos2(x)	tg(x)	13.	a≠ 0
7. 1/sin2(x)	-ctg(x)	14.f(t) →F(t) ⇒

[II] Г.Б. Двайт «ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛОВ и другие математические формулы», М. ,Наука, 1977

[III] Приведение к «табличному виду»: Метод «замены переменной»:

[IV] Приведение к «табличному виду»: Метод «интегрирования по-частям»:

ОТТ - Основные Тригонометрические Тождества:

0) sin²(x)+ cos²(x)=1; d(sin(x))=cos(x)dx; d(cos(x)= -sin(x)dx;

1) 1+tg²(x)=1/cos²(x); d(tg(x)=dx/cos²(x); 1+ctg²(x)=1/sin²(x); d(ctg(x)= - dx/sin²(x);

2) sin²(x)=0.5( 1- cos(2x) ); cos²(x)=0.5( 1+cos(2x))

3) 2sin(x)cos(x)=sin(2x); cos(2x) = cos²(x)-sin²(x) = 2cos²(x)-1 = 1-2sin²(x)

ПРАКТИКА: «Таблица первообразных. Неопределённый интеграл».

ЭКЗ. Для заданной функции f(x) найти : 1) множество первообразных FС (x); 2) первообразную F0(x), удовлетворяющую началь- ному условию: F0(x0∊DF)=y0.

M₀(1,1)⇒∃! F₀(x)=2-1/x; x>0;

F_С (x)=C - 1/x ; C∊R; x<0 ∧ x>0

1. « Табличное интегрирование» :

2. «Расширение» таблиц: ⇒

Выделение полного квадрата в квадратном трёхчлене: x²+bx+c= (x+b/2)²- b²/4 +c

3. Приведение к табличному виду: метод «замены переменной».

3.1 «Подведение под знак дифференциала»:

3.2 Приведение к табличному виду: «Метод подстановки»:

4. Приведение к табличному виду: метод «интегрирования по частям».

КР-3 по теме «Первообразная и неопределённый интеграл».

Задание. Для каждого примера:

1) Найти неопределённый интеграл , используя методы «замены переменной», «интегрирования по частям», таблицу первообразных и тригонометрические тождества. 2) Доказать тождество F’(x)≡f(x).