Второй семестр (вечерка) / Практика / 2. Элементарные функции и их свойста
.doc
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ из курса средней школы.
ЭКЗ+1: По графику y=f(x) «элементарной функции»:
(1) степенные: y=x2, у= x3; y=1/x; y=√х; (2)показательная y=ax(0<a<1; a>1); (3) логарифмическая y=ln(x); 4)тригонометрические: y=sin(x), cos(x), tg(x); 5) обратные тригонометрические: y=arcsin/arcos/atctg
указать и записать свойства функции: 1) Df=?,Ef=?; особые свойства – чётность/нечётность?,периодичность? 2) точки разрыва и интервалы непрерывности; 3) корни и интервалы знакопостоянства: f(x)=0 ; f(x)>0; f(x)<0; 4) интервалы возрастания и убывания: f(x)↑; f(x)↓ ; 5) стационарные точки и точки локальных экстремумов: f’(x)=0; f(xmin); f(xmax); 6) точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости: fВЫП(x); fВОГН(x); f(xПЕР); 7) прямолинейные асимптоты на бесконечности: yAC =kx+b , (x→∓∞).
[I] Степенная функция
Графики: y= x2n – «четная парабола»; || y= x2n-1 – «нечетная парабола»;
: Свойства функции f(x):
1.: Df=R ; Ef=[0;+∞); f(-x)=f(x)- чётная 1. Df=R ; Ef=R; f(-x)= -f(x) - нечётная 2. f непр.на Df ← т. р. не имеет→ 2. f непр.на Df ; 3. ∃! X0= 0: f(0) = 0 ∧ f(x≠0)>0; 3. ∃! X0= 0: f(0)=0; f(x<0)<0; f(x>0)>0 4. f(x<0)↓ ; f(x>0)↑ ; 4. f(x≠0)↑ - монотонно возрастает; 5. ∃! XCT=0: ykac(0)=0 ∧ ∃!xmin=0: fmin=f(0)=0 5. ∃! xСТ= 0: ykac(0)=0 ∧ ∄ЛЭ; 6. ∄xпер: f(x) вогн. 6. ∃! xпер=0: f(x<0)- вып.; f(x>0)- вогн;
7. ∄ yAC -----------------------------------------------------------------------------------
AЛЕВ(0)= ; AПР(0)= 3. ∄x0:f(x0)=0 ∧ f(x<0) < 0 ∧ f(x>0)> 0;
4. f(x<0)↓ ∧ f(x>0)↓;
5. ∄xCT ∧ ∄ ЛЭ ;
6. ∄xпер: f(x<0) вып. ∧ f(x>0)>0 – вогн. 7. ∃yAC=0 при х→∓∞
[II] Показательная функция
a<1;
a=1
a>1;
a=1
: Свойства функции f(x):
1.a>1: Df=R ; Ef=(0;+∞); 1. a<1: Df=R ; Ef=(0;+∞) 2. f непр.на Df ; 2. f непр.на Df ;
3. f(x)=0 ⇔∅ - корней не имеет 3. f(x)=0 ⇔∅ - корней не имеет
4. f(Df)↑ - монотонно возрастает; 4. f(Df)↓ - монотонно убывает ; 5. ∄xCT ∧ ∄ ЛЭ ; 5. ∄xCT ∧ ∄ ЛЭ ;
6. f(Df) вогнутая. 6. f(Df) вогнутая 7. ∃yAC=0 при х→-∞ 7. ∃yAC=0 при х→-∞
a=1: f(x)≡1
[III] Логарифмическая функция
Основное Логарифмическое Тождество (ОЛТ):
: Свойства функции f(x) = loga(x) : 1. Df = (0;+∞); Ef = R; 2. f непр. 3. ∃! X0= 1: f(1) = 0
5. ∄xCT ∧ ∄ ЛЭ ;
[III] Тригонометрические функции
;
g(x) ≡ 0
: Свойства функции f(x):
x∊[-𝛑/2;+ 𝛑/2] x∊[0;+ 𝛑]
1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.
6. 6.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
: Свойства функции f(x):
x∊(-𝛑/2;+ 𝛑/2) x∊(0;+ 𝛑)
1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.
6. 6.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
[IV] Обратные тригонометрические функции
: Свойства функции f(x): 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.
6. 6.
======================================================================
arctg: Df= R
|| ctg(arcctg(x))=x
: Свойства функции f(x): 1. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 4. 5. 5.
6. 6.
7. 7.