Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

ТР 1-1 СЛАУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

392.11 Кб

Скачать

☆

Файл «ТР 1-1 СЛАУ»

ТР 1.1 ОФ) по теме «Решение систем линейных алгебраических уравнений».

«Задание».

Часть(1) Для каждой из систем №4 И (2 или 3) :

1.1 Записать для СЛАУ матричное уравнение, матрицу и расширенную матрицу системы. 2 балла 1.2 Решить систему методом полного исключения с указанием используемых равносильных

! X
преобразований. Записать множество её решений: AX B X {X }	4 балла

	1.3 Если СЛАУ имеет бесконечное множество решений, привести пример X*																											одного из решений и
	доказать, что приведенный пример является решением системы: AX*=B?																													2 балла
		Для системы №1 записать символически последовательность равносильных преобразований,
	использованных в 1.2 : А4													I4= [{SIK(			λ	); PIK; MI(		)}] A4										2 балла
												→					λ			λ		максимум 8∙2=16 баллов								зачёт > 8 баллов

Пример выполнения.
Часть (2) Систему №1 решить с помощью формул Крамера. максимум 10 баллов																													зачёт > 5 баллов
							x1									DET ( Ai )			; Ai A(Ci		: B)
							x1									DET ( Ai )
		D ET( A) 0					x2				xi
		D ET( A) 0									xi
AX=B			! X													DET ( A)
2.1 I3={{SIK(λ).M2(								3				1,2,3
							x				i	1,2,3
						-1/3). M3(-1/3)}A  DET(I3)=1=(-1/3)∙(-1/3)∙det(A) det(A)=9≠0
2.2
				2	3				DET ( A1 ) [14 5 8											2 5 49 32 3 9] [49 5 3 32 2 8 9 6 14] 9
		14		2	3				DET ( A1 ) [14 5 8											2 5 49 32 3 9] [49 5 3 32 2 8 9 6 14] 9
A1
A1		32		5	6								9			1
		493		9	8				X
									X
											1		9
		1	14	3				DET ( A2 ) [1 32 8 14 6 7 49 4 3] [7 32 3																		4 14 8 49 6 1] 18
		1	14	3				DET ( A2 ) [1 32 8 14 6 7 49 4 3] [7 32 3																		4 14 8 49 6 1] 18
A2
A2		4	32	6								18				2
		7	49	8				X
								X
										2			9
		1	2	14				DET ( A3 ) 27
		1	2	14				DET ( A3 ) 27
A3
A3		4	5	32								27			3
		7	9	49				X		3
								X
												9
																											1			1 4 9 14
																							1
																							1		1 2 3
AX B DET ( A) 9; DET ( A2 ) 18; DET ( A3 ) 27;																						! X	2	:	4 5 6		2			4 10 18 32	B
																							3		7 9 8		3			7 18 24 49
																							3

																						2
	Пример выполнения.
Часть I. Решение СЛАУ методом Жордана – Гаусса.
				1	2		3				14					x1					x1 x2				x3					B
																					x1 x2				x3					B
																					1			2	3				14
1.1		A		4	5		6	; B			32			; X		x2		; PM			1			2	3				14		;
1.1		A		4	5		6	; B			32			; X		x2		; PM			4			5	6				32		;
				7	9		8				49					x3					4			5	6				32
				7	9		8				49					x3					7			9	8				49
																					7			9	8				49
																			0							0
												1							0							0
		Ж Г					С1 ( A)						2) С2 ( A)							3) С3 ( A)
1.2		Ж Г			: 1)		С1 ( A)					0	2) С2 ( A)						1	3) С3 ( A)						0
												0							0							1
												0							0							1

			1						2				3				14
		R1
							1		0				-1				-2				23) S12(-2) R1:= R1 - 2∙R2

			1						0				0				1							33) S13(1) R1:= R1								+ R3

			4						5				6				32
		R2
					0				-3				-6				-24				11) S21(-4) R2:= R2 - 4 R1

							0		1				2				8				21) M2(-1/3) R2:= R2:(-3)

			0						1				0				2							32) S23(-2) R2:= R2 - 2∙R3

			7						9				8				49
		R3
					0				-5				-13				-49				12) S31(-7) R3:= R3 - 7∙R1

							0		0				-3				-9						22) S32(5) R3:= R3 + 5∙R2

			0						0				1				3							31) M3(-1/3) R3:= R3:(-3)
						X1				X2				X3
		Ж-			1				0				0				1												x1 1
		Г			0				1				0				2				1.2				! X=			x2 2
					0				0				1				3				1.2				! X=			x2 2
					0				0				1				3												x3 3
																					1.3 I3={{SIK(						λ).M2(-1/3). M3(-1/3)}A

		X1					X2					X3				B			1 ШАГ																2 ШАГ
		1					2			3					14										1					2			3	14	S12(-2)
		4					5			6					32				S21(-4)						0					-3			-6	-24
																			M2(-1/3)						0					1			2	8
		7					9			8					49				S31(-7)						0					-5			-13	-49	S32(5)

																			3 ШАГ					X1						X2			X3		1.2
		1					0			-1					-2					S13(1)					1					0			0	1	X1=1
		0					1			2					8				S23(-2)						0					1			0	2	X2=2
		0					0			-3					-9																				X3=3
		0					0			1					3				M3(-1/3)						0					0			1	3
	1.3 I3={{SIK(λ)}.M2(-1/3). M3(-1/3)}A
		Результат:								A X B ! X [1; 2;3]T												I3 = [{SIK}M3(-1/3) M2(-1/3)} ]A

Пример 2.M=3, N=3

	x1 2 x2 3x3 4												A3 X 3 x1 B3 x1
															1		2	3

			6x2			7 x3		8
1.1	5x1		6x2			7 x3		8							5		6	7
			10x				11x			12			A		5		6	7
	9 x		10x				11x			12
		1			2				3
		1			2				3						9		10	11
															9		10	11
				x1			x2	x3			B								x1

													S2 1 (5)
	PM			1			2	3			4		S2 1 (5)						1
1.2	PM														1
				5 6 7							8	M 2		(		)			0
				5 6 7							8	M 2		(	4	)			0
				9			10	11			12				4				0
				9			10	11			12								0
												S3 1 ( 9)
													~
													~
							x1	x2			x3		B				x1	x2
							x1	x2			x3		B
											1	2
	S1 2 (2)						1	0			1	2					1	0
							0	1			2		3				1	0

																	0	1

							0	0			0		0

	S3 2 (8)
																\| I 2			\|
								1							1		2	3
								1							1		2	3
1.3	x*	1		X *				1			: A X *				5		6	7
	3
								1							9		10	11

					x1	x2	x3	B
	x1		4	; PM	1	2	3	4
; X	x2	; B	8	; PM	5	6	7	8
; X	x2	; B	8		5	6	7	8
	x3		12		9	10	11	12

							~
							~
				x2	x3	B						0
				x2	x3	B
			2		3	4
			2		3	4			C2			1
		4 1			8 2	12 3			C2			1
		4 1			8 2	12 3						0
			8		16	24						0
			8		16	24
	x			~	x 2 x						2 x
	x			B	x 2 x						2 x
		3			1		3						3
1				2	x2 3 2 x3 X {					3 2 x3				}
										x3 R
2				3	x3 R
stop !					x3 R
stop !
			1		1 2 3 4			ч.т.д.
			1		1 2 3 4
			1		5 6 7 8
			1		9 10 11 12

Результат:				A X B X {[ 2 a; 2 2a; a]T , a R};														X * 1,1,1 T .
Пример 3.		M=4, N=4										A X B
3x1 3x2 2 x3 3x4 5												A X B		; X \| x ; x ; x ; x						\|T ; B \| 5; 1; 9; 48 \|T
3x1 3x2 2 x3 3x4 5															1	2	3		4
															1	2	3		4
													3	3	2		3
													3	3	2		3
3x1 0 x2 3x3 2 x4 1													3	0	3			2
1.1		3x2 11x3 10 x4 9											3	0	3			2
9 x1		3x2 11x3 10 x4 9										A	9	3	11 10					;
9 x 18x				12 x			18x			48			9	3	11 10
	1		2			3			4				9	18 12 18

		x1		x2		x3			x4		B1
		x1		x2		x3			x4		B1
		3		3		2			3		5
PM		3		0			3	2			1
		9		3	11			10			9
		9		18		12		18			48

1.2 Приведём матрицу А к треугольному виду, т.е. обнулим все под- или над-диагональные

элементы

1 шаг		x	x	2	x	3	x	4	B	2 шаг	x	x	2	x	3	x	4	B
		1		2		3		4	1	2 шаг	1		2		3		4	1
S21 (1)		3	3 2				3		5		3	3 2				3		5
		0	3 1				1		6		0	3 1				1		6
S31 ( 3)		0	6		5 1				6	S32 (2)	0	0		3		3		6
S	(3)	0	9		6		9		33	S42 (3)	0	0		9		6		15
41
41

3 шаг	x1	x2	x3	x4
S43(3)	3	3	2	3
S43(3)		3
	0	3	1	1
	0	0	3	3
	0	0	0	3

| U 4 [{Sik } ]A |

! X [ 2,2,1, 1]T

B	Метод	3x			5 3x					2		2 x		3		3x		4	x	2
B		3x			5 3x							2 x				3x			x	2
1			1																1
5	Гаусса	3x		2	6 x				3		x		4	x			2	2
6				2					3				4				2
6					3x		6 x									1
6		3x		3	3x	4	6 x								3	1
6				3		4									3
3				3 x							1
3		3x		3 x							1
			4					4
			4					4
DET (U 4 ) ( 3) ( 3)( 3)(3) 81 DET [{Sik } ]A																				DET ( A) 81 0

1.3 A4 U4 U4 = [{SIK}}]A

Результат: A X B ! X [ 2; 2;1; 1]T U4 = [{SIK}} ]A4

Часть (2) Решение СЛАУ по формулам Крамера

Известно, что СЛАУ

AN∙ XNX1=BNX1

2.1

Теорема и формулы Крамера:

DET ( Ai )

DET ( A) 0 AX

B ! X [ x1 ,..., xn

] xi

, i 1,2,..., n

DET ( A)

k i

: C

( A)

A [C1 , C2 ,...., Cn ]

: B

DET ( A) 0 AX B {X } X

2.2

При элементарных преобразованиях матрицы:

DET(SIK (λ)A) DET(A);

DET(PIKA) DET(PIKA) DET(A);

DET(M (λ)A) λ DET(A) DET(λ A

) λN DET(A)

2.3

Определитель верхней UN и нижней LN треугольных матриц равен произведению их

диагональных элементов:

)

I N

)

I N

DET(U

; DET(L

I 1

a1 1

a1 2

a1 3

2.4

Правило Саррюса для матриц 3 порядка: A3

a2 1

a2 2

a2 3

a3 1

a3 2

a3 3

DET(A3)= [A11∙ A22∙ A33+ A12∙ A23∙ A31+ A13∙ A21∙ A32] – [A13∙ A22∙ A31+ A12∙ A21∙ A33+ A11∙ A23∙ A32]

2.5

AIK AN →MIK=DET(DIK)N-1→AIK=(-1)I+K∙ MIK

Элемент

минор элемента

алгебраическое дополнение элемента матрицы

... a

разложение DET A

по " i" CTPOKE

DET An

k 1

i n

разложение

по " k" cmoл uy

...

DET

 DET(AN: RI=0 CK=0) = 0

======================================================================

Пример выполнения.								An X B
Решение СЛАУ с невырожденной матрицей								An X B			xi			DET ( A )				, i 1	n
Решение СЛАУ с невырожденной матрицей											xi					i		, i 1	n
																i
										n				DET ( A)
								DET ( A ) 0						DET ( A)
3x1 3x2 2 x3 3x4 5							3	3	2	3					5				x1
3x1 3x2 2 x3 3x4 5							3	3	2	3					5				x1
		0x2 3x3 2 x4 1					3	0	3	2					1				x2
3x1		0x2 3x3 2 x4 1				A	3	0	3	2		;	B		1		; X		x2
						A						;	B				; X
9 x1 3x2 11x3					10 x4 9		9	3	11 10						9				x3
9 x		18x		12 x	18x 48		9	18	12	18					48				x
	1		2	3	4															4
	1		2	3	4															4

					6
1) Приведём матрицу А к треугольной U4 (см. Пример 3 части 1):
	3	3	2	3
	3	3	2	3
	0	3	1	1		2.3	2.2
A U4	0	0	3	3	[{Sik ( )} ]A DET U 4	81	DET A
	0	0	0	3

													5		3		2			3				S3 1( 1)						5			3			2 3
				C1: B									5		3		2			3				S4 1(6)						5			3			2 3
													1							2				S4 1(6)						1								2
													1		0	3				2										1				0			3	2	2.5
DET(A1 )								DET					9		3	11				10						2.2	DET			4				0		9		7			(по С2 )
													9		3	11				10						2.2				4				0		9		7
													48		18	12			18											18				0			0	0
												1			3	2			2.5																		3	2
												1			3	2
( 3)( 1)1 2																					(по R3 ) 3 18 ( 1)3 1																					162			или
( 3)( 1)1 2						DET						4		9		7					(по R3 ) 3 18 ( 1)3 1													DET			9	7				162			или
												18			0	0																					9	7
												18			0	0
(ф.Саррюса) 3 {[ 3 7 18] [18 ( 9)( 2)]} 162 X1																																			DET(A1 ) / DET(A) 162 /( 81) 2
												3		5		2			3												3				5		2 3

					: B																	S			21 (1)
				C	: B								3	1		3			2			S			21 (1)			2.2				0			6		1	1				2.5
				2									3	1		3			2									2.2				0			6		1	1				2.5		(по С1 )
DET(A 2 )							DET					9		9		11			10			S			43 (1)				DET			0			6 5 1									(по С1 )
												9		9		11			10													0			6 5 1
													9	48		12			18			S3 1 ( 3)										0			39		1	8
													9	48		12			18													0			39		1	8
										6 1					1
										6 1					1
( 3)( 1)1 1 DET											6		5		1		(ф.Саррюса ) ( 3) {[ 240 39 6)] [ 195 48 6]} 162
											39		1		8
X			DET А2					( 162) /( 81) 2
X	2							( 162) /( 81) 2
	2			DET А
				DET А
													3		3	5				3			S21(1)										3				5	2			3
													3		3	5				3			S21(1)										3				5	2			3
				C3: B
													3		0	1			2										2.2					0			3	6			1		2.5
													3		0	1			2										2.2					0			3	6			1		2.5
DET(A 3 )								DET					9		3	9 10							S4 3 (1)							DET				0			6	6			1			(по С1 )
													9		3	9 10							S			( 3)								0			6	6			1
																			18				S			( 3)															8
													9		18	48			18							31								0			15	39			8

			3			6							1
			3			6							1
( 3)		6						6					1
				15		39							8
(ф. Саррюса ) ( 3) {[144 90 234)] [90 288 117]} 81																																						X 3			81 /( 81) 1
										3			3		2			5			S2 1(1)							3		5				2			3							3	1	6


											3		0		3 1														0 3					1 6
DET(A 4 ) DET											3		0		3 1											DET			0 3					1 6				( 3) DET					6		5	6
DET(A 4 ) DET										9			3		11			9			S4 3 (1)					DET			0	6				5			6	( 3) DET					6		5	6
										9			3		11			9			S4 3 (1)								0	6				5			6						15		1	39
											9		18		12			48			S		( 3)						0	15				1			39						15		1	39
											9		18		12			48			S		( 3)						0	15				1			39
																					31																			DET А4
(ф. Саррюса) ( 3) {[585 90 36] [450 234 18]} 81																																					X 3			DET А4				81 /( 81)		1
(ф. Саррюса) ( 3) {[585 90 36] [450 234 18]} 81																																					X 3			DET А				81 /( 81)		1
Результат:																																								DET А
Результат:									DET(A)=-81; DET(A1 )= 162;																	DET(A2 )= -162;								DET(A3 )=				- 81;				DET(A4 )= 81;
													!X=[ - 2; 2; 1; - 1]T

Решение СЛАУ A∙X=B методом обратной матрицы.

DET ( A) 81 0				! X
				! X
A		X B
	3	3	2	3	1
	3	3	2	3	1
	3	0	3	2	0
	9	3	11	10	0
	9	18	12	18	0

	2 / 3	0	0
	2 / 3	0	0
А 1	4 / 9	13 / 9	5 / 9
А 1	4 / 3	7 / 3	2 / 3
	4 / 3	7 / 3	2 / 3
	1	3	1

A 1 B :					Г Ж
A 1 B :				[ A \| I ]		[I \| A 1 ]
0	0	0				1	0	0	0	2 / 3	0	0	1 / 9
0	0	0				1	0	0	0	2 / 3	0	0	1 / 9
1	0	0	...			0	1	0	0	4 / 9 13 / 9 5 / 9 2 / 9
0	1	0	...			0	0	1	0	4 / 3	7 / 3 2 / 3 1 / 3
0	1	0				0	0	1	0	4 / 3	7 / 3 2 / 3 1 / 3
0	0	1				0	0	0	1	1	3	1	1 / 3
	1 / 9				6	0	0	1
	1 / 9				6	0	0	1
	2 / 9			1	4	13	5 2
				1
	1 / 3				12	21 6		3
	1 / 3		9		12	21 6		3
	1 / 3				9	27 9		3

		6	0	0	1	5	2
		6	0	0	1	5	2
X A 1 B	1	4	13	5	2	1	2	= [ - 2; 2; 1; - 1]T
	1
		12	21	6	3	9
9		12	21	6	3	9	1
		9	27	9	3	48	1

		6	0	0	1		2
		6	0	0	1		2
Результат: DET(A)=-81; А 1	1	4	13	5	2	X A 1 B	2
	1
		12	21	6	3		1
9		12	21	6	3		1
		9	27	9	3		1

Соседние файлы в папке Матрицы и СЛАУ

#
28.05.2022175.71 Кб1АЛГЕБРА МАТРИЦ-1.pdf
#
28.05.2022375.29 Кб1М4-М5 det(A) и ф. Крамера.pdf
#
28.05.2022328.97 Кб1Матрицы-1.pdf
#
28.05.2022148.66 Кб2Метод Ж-Г MathCad.pdf
#
28.05.2022108.61 Кб1МУ и ОМ.pdf
#
28.05.2022392.11 Кб1ТР 1-1 СЛАУ.pdf
#
28.05.2022223.63 Кб1ТР 1.1 часть 1.pdf