Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

5 Т К 6-MY

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

355.17 Кб

Скачать

☆

§5 Теорема и формулы Крамера. Однородные СЛАУ.

Пусть AN –квадратная матрица и её определитель DET(AN).

... ... ... ...

...

... ... ... ...

...

ai1 ...

AIK

...

aim

...ain

: AIK A IK DE T(A)

K 1

( Dik )n 1 A \ {Ri , Ck

}

... ... ... ...

...

A ( 1)i k

DET (D

; A

R j : j i :

aik A jk

)

a j1 ...

a jk

...

a jm

...a jn

k 1

ai1 A j1

ai 2 A j2 ... ain A jn

...

an k

...

an m

...an n

an1

AIK

A IK

DE T(A); m k :

Aim 0

I 1

i 1

Рассмотрим систему N линейных алгебраических уравнений с N неизвестными AN∙X=B

AN =[C1; C2;…; CK;…; CN]

... A

... a

| A

IK Умножим каждое уравнение системы I= (1 N) на

i1 1

1,2,..., n

алгебраическое дополнение AIK элемента AIK(коэффициент при XK) и “сложим” все уравнения :

... x

... xn a

b A

i 1

x1 0

xk DET( A)

: [C1; C2 ;...;CK : B;...,Cn ]

xn 0

DET( A K ) : A K

)

DET(A

DET( A) DET( A

)

K 1 N : ! X K

DET(A)

DET( A) 0

где матрица AK получена из матрицы A заменой «к» столбца столбцом “B”.

Теорема /Теорема Крамера/.

Система N линейных алгебраических уравнений≠ с N неизвестными AN∙X=B имеет единственное решение тогда и только тогда, когда DET(A) 0

		x1		~
A X B		x2		~
A X B		x2		K
	! X		: K 1 N : X K	DET(A )	формулы Крамера.
	! X	...	: K 1 N : X K		формулы Крамера.
DET ( A) 0		...		DET(A)
		xn
Следствия

1) Если DET(A)=0, СЛАУ ANX=B не имеет единственного р ешения, т.е. либо имеет ∞ множество решений,

либо решений не имеет.

		2
2) Однородная СЛАУ (с нулевыми правыми частями) ANX=0 всегда имеет нулевое решение X=0. Поэтому
DET( A) 0
		! X 0 единственн ое нулевое решение ;
ОСЛАУ ANX=0		0
DET( A)		0
		бесконечное множество решений , в т.ч. нулевое .

	3) Алгоритм «решения» СЛАУ:
3.1 Существует ли решение?(Следует ли решать?)																							3.2 Решение единственно?(Что искать?)														3.3 Как найти множество
решений?(Метод решения).
																	DET(A) 0							Ж	Г			B 0
																					! X							! X 0
																								ф. Крамера
	An Bn x1 : СЛАУ										A X B
	An Bn x1 : СЛАУ										A X B						DET(A) 0
																	DET(A) 0				B 0						бесконечное множество								решений
																									X		бесконечное множество								решений				Ж Г
																																							Ж Г
																					B 0 X
																					B 0 X					бесконечное множество									решений , в т.ч. нулевое .

Пример 1.
		2	3		x1						14						1	2	3		DET ( A)						т. Крамера					x1
	1	2	3		x1						14						1	2	3		DET ( A)											x1
																					232 223															DET ( Ai )
	4	5	6		x2						32			A			4	5	6	,									! X			x2		: xi		DET ( Ai )		; i 1,2,3
	4	5	6		x2						32			A			4	5	6	,									! X			x2		: xi				; i 1,2,3
	7 9 8										49						7 9 8																			DET ( A)
	7 9 8				x						49						7 9 8				9 0											x
						3																											3
						3	2					3																					3
																														DET ( A1 )
					14
DET ( A1 ) DET					32		5					6			(ф.Саррюса )						2012 2003 9 x1													1
DET ( A1 ) DET					32		5					6			(ф.Саррюса )						2012 2003 9 x1									DET ( A)				1
					49		9					8																		DET ( A)
					49		9					8
						1	14					3																		DET ( A2 )
						1	14					3
DET ( A2 ) DET						4	32					6			1432 1414 18;														x2					2
DET ( A2 ) DET						4	32					6			1432 1414 18;														x2	DET ( A)				2
						7	49					8																		DET ( A)
						7	49					8
							2					14																		DET ( A3 )
					1		2					14
DET ( A3 ) DET					4		5					32			1197 1170 27;														x3					3
DET ( A3 ) DET					4		5					32			1197 1170 27;														x3	DET ( A)				3
					7		9					49																		DET ( A)
					7		9					49
											1						1 2 3					1			1 4 9 14
											1						1 2 3					1			1 4 9 14
A X B ! X										2			: A X				4	5 6				2			4 10 18 32						B!!
											3						7 9 8					3			7 18 24 49
			1	2	3				x1						0	D ET( A) 9 0					0
			1	2	3				x1						0						0

2.			4 5 6					x2							0			! X			0
			7	9	8				x3						0						0

													3
Пример 3.
																x1	x2		x3		B
																x1	x2		x3		B
			1	2		3										1	2	3			0	(1)шаг
																1	2	3				(1)шаг
								x1		0				Ж Г		1 0		1				(2 3 ) S1 2 ( 2)

			4	5		6
			4	5		6						X					3	6					(1) S 2 1 ( 4)
			7	8		9		x	2	0		X	: PM			0	3	6			0		(1) S 2 1 ( 4)
									2
								x		0						0 1		2					(2 2 ) M 2 ( 1 / 3)

	DET 225 225					0			3
	DET 225 225					0										0	6	12			0		(1) S3 1 ( 7)
																0	6	12					(1) S3 1 ( 7)
																0 0 0							(21 ) S 4 3 ( 2)
																0 0 0							(21 ) S 4 3 ( 2)
		x1	x2 x3			B					x1 x3			1			х3 0		0			х3	1		1
		x1	x2 x3			B					x1 x3			1											1
							X {			x2 2 x3			х3
		1	0 1			0	X {			x2 2 x3			х3	2	} Х 0				0	; X 1					2
		0 1 2			0						x3 R			1					0						1
			§6 Матричные уравнения AX-B и XA=B.
			Пусть заданы числовые матрицы AN=ANXN и BNXR [B1 , B2 ,..., Br ]																					, где ( B		)nx1T , k 1 r -

столбцы матрицы B.

Определение Матричным уравнением (МУ) называется равенство A∙X = B, где X=[X1; X2;…; XR]NXR – искомая матрица- решение МУ.

Следствия.

1) Если R=1, МУ A∙X =B соответствует СЛАУ.

R>1: (A∙X)NXR = BNXR  (A∙X1; A∙X2:…; A∙XR)=(B1;B2;…;BR)  {A∙XK=BK, k 1 r } – МУ равносильно

R СЛАУ с одинаковой матрицей A и различными «правыми частями» BK.

2) Множество решений МУ находится методом Жордана-Гаусса приведением расширенной

матрицы МУ РМ= [A || B1 | B2 | ... | BR ] к одному из трёх видов (I II III), при этом:

-«нулевая строка» RI= (0…0||0|≠0|…|0) из РМ удаляется;

-появление «ненулевой строки» RI= (0…0||0|≠0|…|0)  ᴓ- МУ решений не имеет!

	1 2								x1 1	x1 2		5 6		РМ			1 2			5 6	S2 1( 3)		1 2		5	6
																					S2 1( 3)

	3 4								x2 1	x2 2		7 8					3 4			7 8			0	2	8	10
	3 4								x2 1	x2 2		7 8					3 4			7 8			0	2	8	10
	S				(1)
1 2						1			1	0	3	4		! X			3		4
1 2

	M			(				)	0	2	4	5					4			5

		2
		2				2
						2
			МУ				X A B приводится к (2) транспонированием обеих частей МУ :
3)			МУ															Ж Г				( X T )T
							( X A)T BT AT X T BT X T X															( X T )T
		ЭКЗ: Решить МУ										x11	x12			2			5	6
												x11	x12		1	2			5	6
												x2 1	x22		3	4			7	8
												x2 1	x22		3	4			7	8

Соседние файлы в папке Матрицы и СЛАУ

#
28.05.2022405.59 Кб12-3 СЛАУ.pdf
#
28.05.2022355.17 Кб15 Т К 6-MY.pdf
#
28.05.2022246.96 Кб16 МУ 7 ОМ.pdf
#
28.05.2022175.71 Кб1АЛГЕБРА МАТРИЦ-1.pdf
#
28.05.2022375.29 Кб1М4-М5 det(A) и ф. Крамера.pdf
#
28.05.2022328.97 Кб1Матрицы-1.pdf
#
28.05.2022148.66 Кб2Метод Ж-Г MathCad.pdf

Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / Матрицы и СЛАУ / 5 Т К 6-MY

§5 Теорема и формулы Крамера. Однородные СЛАУ.

§6 Матричные уравнения AX-B и XA=B.