Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Алгебра и геометрия

Файл:

2-3 СЛАУ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

405.59 Кб

Скачать

☆

§2 Системы Линейных Алгебраических Уравнений (СЛАУ). Равносильные СЛАУ.

Определения.

1)Системой «N» линейных алгебраических уравнений с «M» неизвестными x1 , x2, ..., xm

называется система вида

		a1 2 x2				... a1m xm b1
a1 1x1		a1 2 x2				... a1m xm b1

		a2 2 x2				... a2 m xm b2
a2 1x1		a2 2 x2				... a2 m xm b2

..........................................

a	x	a	n 2	x	2	... a	n m	x	m	b
	n1 1		n 2		2		n m		m	n

Введём матрицы:

a1k xk

k 1

a2 k xk

an k xk

		a1 1	...		a1m
		a1 1	...		a1m
		a2 1	...		a2 m
A		a2 1	...		a2 m
	... ... ...
			...
		an1	...		an m		n xm
		x1				b1
		x1				b1
		x 2				b2
X		x 2			; B	b2
		...				...
		xm
				mx1		bn
				mx1		bn

	x1	x2	...	xm	B
РМ = [ANXM\|BNX1]NX(M+1)	a1 1	a1 2	...	a1m	b1		– расширенная матрица (РМ )
РМ = [ANXM\|BNX1]NX(M+1)	... ... ... ...				...		– расширенная матрица (РМ )
	... ... ... ...				...
	an1	an 2	...	an m	bn	n x( m 1)
	an1	an 2		an m	bn	n x( m 1)

системы.

Очевидно, что СЛАУ может быть записана в виде матричного уравнения ANXM ∙XMX1 =BNX1 и её РМ.

2) Решением СЛАУ называется упорядоченный набор чисел (x1 , x2, ..., xm )=XMX1 , обращающий

каждое уравнение системы в верное числовое равенство.«Решить СЛАУ» найти

множество её решений. Это множество может быть пустым, содержать единственное

или бесконечное множество решений.

1x1 2 x2 3x3 14							1	2	3	x1		14			x1	x2	x3		B		1

															1	2	3		14
		5x2		6x3 32										PM						! X
4 x1							4	5	6	x2		32	;		4	6	6	32			2
7 x		9 x		8x		49	7	9	8	x		49									3
	1		2		3						3				7	9	8		49

↑!X={(X1=1, X2=2, X3=3)}=↑[1,2,3]T : 1∙1+2∙2+3∙3= 14 4+10+18= 32																			7	+18+24= 49

3) Системы называются равносильными, если равны множества их решений. Решение (деепричастие !!) СЛАУ сводится к последовательности её равносильных

преобразований.

Элементарные равносильные преобразования СЛАУ и ее Расширенной Матрицы (РМ):

		xk
Обозначим: «I» строку РМ: RI=[AI1; AI2;… AIN\|BI] и «K» столбец РМ : СK=		a1k
		...
« =» - “заменяется на”: RI = λ∙RI – «I строка заменяется на I строку,
		amk
		умноженную на λ»
Равносильные преобразования СЛАУ и РМ	Обозначение
	операции

Перестановка: I и K уравнений СЛАУ / I и K строк РМ																															PIK:	RI ↔ RK
Перестановка: I и K слагаемых в уравнениях / I и K столбцов РМ																															Pik :	CI ↔ CK
																														~

Умножение: I уравнения / I строки РМ													на число λ≠0																		MI(λ): RI = λ∙RI

«Сложение»: к I уравнению / к I строке РМ прибавить K уравнение /																				K											SIK(λ ) :
строку РМ, умноженные на λ. При этом K уравнение/ K строка РМ остаются																															Ri	: Ri Rk
неизменными																																: Rk
																															Rk	: Rk

	x	x	2	x	3		B	S ( 6)		x		2	x	3	B	M (	1	)	x			x		2			x	3		B
											x						1
											x
	1							21		1						2	5		1
	1	2		3		5				1	2		3		5				1		2					3			5
	6	7		8		10				0	5		10		20				0		1					2			4
\| A				\|					\| S		( 6)A			\|				M (				1	) S				( 6) A
\| A				\|					\| S		( 6)A			\|				M (					) S				( 6) A
											21								2	5					21

§3 Метод «полного исключения» Жордана - Гаусса.

Методом «полного исключения» Жорданаλ- Гауссаλ (Ж- Г ) называется алгоритм равносильных преобразований СЛАУ [PIK, MK( ), SIK( )] , который заканчивается приведением

РМ системы к одному из трех видов:

x2 ...

0 ...

1 n;

m n

b , i

[I] PM

[In | Bn ]

1 ...

I X B X B :

СЛАУ имеет

... ... ... ...

...

единственное решение.

0 ...

| B

[II ]

x2 ...

xk 1

...

0 ...

...

[Ik n.; Dkx(n k ) |

]

a1,k 1

a1,n

1 ...

...

a2,k 1

a2,n

... ... ... ... ... ... ...

...

0 ...

...

ak ,k 1

ak ,n

| Ik n | Dkx(n k )

| B

в левой

части РМ

(A) получена единичная матрица Ik n , порядок которой k меньше

числа неизвестных n.

x j

; i 1 k}

{xi bi

j k 1

xk 1 , xk 2 ,..., xn , R

СЛАУ имеет бесчисленное множество решений: неизвестные x1 , x2 ,..., x

выражаются

через " свободные" неизвестные xk 1 ,..., x

, которые могут принимать произвольные значения.

Пример

[III ] PM

x x

4 3x

1x1 0x2 3x3

1 0 3

6 5x3

}

1x2 5x3

x2 6 5x3 X {

0 1 5

0x1

x3 R

2 x 4

| I 2 | ..... | B

Например, x3 1 X | 1;1;1]T одно из множества решений СЛАУ .

..........

... ... ... ...

0 x2 ...

0 xn

0 ... ...

0 x1

b 0

СЛАУ не имеет решений.

| ненулевая строка PM ||

«Тактика» метода Ж - Г: последовательное («по шагам») приведение с помощью равносильных преобразований 1-го→ 2-го→, 3-го→… столбцов РМ к виду столбцов единичной матрицы: диагональный элемент =1, недиагональные =0:

на «к шаге»

i k

С1

С2

С1

С2

С3

СК

... ....

akk 1

...

1шаг

2 шаг

≤

шаг

k шаг

Алгоритм “K” шага Ж-Г / приведение

K N столбца РМ к виду столбца единичной матрицы:

, разделив «к» строку РМ на кк:

1) Получить диагональный элемент =1: aKK aKK

aKK : aKK 1

RK : RK

: aKK aKK

Если AKK=0, сначала переставить к строку РМ с одной из строк ниже или к столбец со столбцом

справа:

: RK

: CK

"xi " "xk "!!!

2) «Обнулить» все недиагональные элементы ai k ,k

K -столбца, как правило, вычитая из

каждой I K – строки полученную K– строку

RK , умноженную на элемент ai,k :

≠

i k :

1 a

R : R R

i,к

Замечание. Если в результате преобразований в РМ появилась

- нулевая строка [0…..0|B

0, она из РМ удаляется;

ᴓ

0|B 0]  0∙X1+0∙X2+…+0∙XN=B≠0 

ненулевая строка [0….. ≠

≠

Алгоритм

СЛАУ

STOP! 

решений не имеет.

																																					4
Пример 1 . M=4, N=3
			↓			1 шаг:					приведение 1 столбца к «единичному виду».
																																						~
																																						~
			x1				x2	x3					B												x1			x2						x3				B										x1		x2		x3		~
			1				2		3			14													1				2				3				14											x1		x2		x3		B
			1				2		3			14													1				2				3				14											1		2		3		14
																S21(4)									0			3						6			24
			4				5		6			32
																																												1
																																												1
			7		9 8							49				S			( 7)						0 5									13			49				M 2		(		)			0		1		2		8
																																											(	3	)			0		1		2		8
																																												3
																		31																														0		5		13		49
																		31																														0		5		13		49
			2				4		6			28				S			(2)						0				0				0					0
																		41																a		33		3 1
																																		a				3 1
	2 шаг: a								, a					0												3 шаг:																0
								12			13																							a				, a	23			0
																																			13				23
																					~																										~


														x x			2		x	3			B		3)S						(1)						x1					x2	x3			B			x1		1,						1
														x x					x				B														x1					x2	x3			B
														1
	S12					( 2)								1 0					1		2				2)S		13				2)							1 0 0							1						2, ! X						2
														0		1			2		8				2)S	23				(	2)							0				1	0		2				x2		2, ! X						2
														0		1			2		8					23																									3
																																																									3

			S				(5)							0		0			3		9			1) M					(				1	)															x3
				32																																		0 0 1							3


Пример 2.																											3						3							I 3 stop!
																																								I 3 stop!


			x1				x2		x3										( 4)				x1		x2										x3							~								x1		x2		x3	~
			x1				x2		x3					B			S		( 4)				x1		x2										x3							B								x1		x2		x3		B
																		21																																				1	2
			1 2 3										14									1				2									3							14								1 0				1	2
			4				5		6				32				M ( 1))					0			3 / 1 /									6 / 2 /								24 / 8 /					S12 ( 2)			0		1	2		8
																		2		3																														I2		stop
																																																		I2		stop
			x x							2										x1 2					x 3																								1		2 6		3 1 14
																				x1 2					x 3
															X								8 2x 3
							1		3					8	X					x2			8 2x 3									x 3 1 X * [ 1;6;1]T :
			x2 2 x3											8									x 3 R																										4 30 6 32
Пример 3. M=4, N=4.
		x1					x 2				x 3					x 4				B
			0				1					1 3							2				~
			0				1					1 3							2				~										x1		x2			x3				x4					B
																							R1 R1 R4
			1 4								7 13								10														0 0 0 0											4 0
			2				11			17						35			26														... ... ... ...											...
			0				1				1					3			2

Соседние файлы в папке Матрицы и СЛАУ

#
28.05.2022405.59 Кб12-3 СЛАУ.pdf
#
28.05.2022355.17 Кб15 Т К 6-MY.pdf
#
28.05.2022246.96 Кб16 МУ 7 ОМ.pdf
#
28.05.2022175.71 Кб1АЛГЕБРА МАТРИЦ-1.pdf
#
28.05.2022375.29 Кб1М4-М5 det(A) и ф. Крамера.pdf
#
28.05.2022328.97 Кб1Матрицы-1.pdf