Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / ЛВП-5 L&P
.pdf
1
§5 Аналитическая Геометрия: прямая и плоскость в пространстве.
Аксиома «Геометрии»:» через заданную точку проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой».
Определим прямую L в координатном пространстве XYZ как множество точек
L {M ( x, y, z) : M |
|
( x |
, y |
, z |
) L |
|
|
|
|
|
|
|
[s , s |
, s |
]T } |
|
0 |
M |
0 |
M || S |
L |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 2 |
3 |
|
||||
" направляющий вектор прямой L" |
|
|
|
|
||||||||||||
SL |
|
|
|
|
||||||||||||
MO SL||L
Z
M
RO |
|
||
|
R |
L |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
X |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Уравнение прямой», связывающее координаты точек прямой |
L M0 ;SL |
, получим из |
||||||||||||||||||||||
условия коллинеарности векторов M0M и SL: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
s1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M0 M rM |
rM 0 |
t SL |
|
|
|
s2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z z0 |
|
|
|
s3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
s1 |
t |
|
параметрическое уравнение прямой |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
[s1 , s |
|
T |
|
|
|
y y 0 |
|
L(M 0 ; SL [s1 , s2 , ss ] : |
|
||||||||||||||
|
|
L(M 0 L SL |
2 , s3 ] || L) |
|
z0 |
s3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
M L ! t M R t R ! M t L |
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
каноническое уравнение прямой : |
x x0 |
|
y y0 |
|
z z0 |
t |
|
s |
, s |
, s |
|
{0} |
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
M |
3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s1 |
s2 |
|
|
s3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
SOS! Аналитическое решение «задач на прямую L» |
начинается |
с задания/нахождения |
|||||||||||||||||||||||||||
«параметров» прямой: M0 L SL||L. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ПРИМЕР.
|
|
1 |
|
x 1 1 t |
||
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
1 |
) |
y 2 |
|||
L1(A(1,2,3); SL1 |
|
2 |
t |
|||
|
|
2 |
|
z 3 |
||
|
|
|
t R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствия.
(1) Прямая через 2 точки А B L : L(M
|
? |
(2) |
1 |
1 |
|
|
1 2 |
|
1 |
3 |
M1 L1 |
|
|||||||||||||
M1` (1,1,1) L1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
|
2 (2,1,5) L1 |
2 1 |
|
1 |
|
|
5 |
t2 |
M2 |
L1 |
|||||||||||||||
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 {A, B} SL AB)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
s |
L1 |
s |
L2 |
|
||||||||
(2) Угол между прямыми: |
L1 L2 (s |
|
s |
|
) ARCCOS |
|
|
|
|
|
|||
L1 |
L 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|| || |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|| sL1 |
sL2 |
|| |
|||||
2
Условие параллельности прямых : L1||
Условие перпендикулярности прямых
:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 SL1 |
, SL 2 |
коллинеарны SL1 |
λ SL2 |
(sL1 sL2 ) 0 |
||||
|
|
|
ортогональны |
|
|
|
|
|
L1 L2 SL1 , SL 2 |
SL1 |
SL2 |
0 |
|
||||
(3) Точка пересечения двух прямых:
|
|
|
|
|
|
|
|
x(tC ) x( C ) |
|
|
|
, C ) L1, L2 |
" пересекаются" |
|||||||
C |
|
L1 |
L2 |
|
: |
1. |
(1) L1( x(t ), y(t ), z(t )) |
|
|
|
|
|
|
!(tC |
||||||
|
С |
y(tC ) y( C ) |
|
|
|
L |
|| L |
или |
" |
" |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
скрещиваются |
||||
|
|
|
|
|
|
2. |
(1) L2( x( ), y( ), z( )) |
z(tC ) z( C ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
3, |
n |
2(( |
t |
, ) |
{(tC , |
C )} L |
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|||
[II] Плоскость в R3.
Из «Геометрии» известно, что
1)(определение): прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости;
2)прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум непараллельным прямым в плоскости ;
3)через точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная заданной прямой.
Определим плоскость Р в координатном пространстве XYZ как множество точек
|
|
|
|
|
|
|
P {M ( x, y, z) : M0 ( x0 , y0 , z0 ) L M |
|
[n1 , n2 , n3 ]T } |
||||
0 M _ | _ nP |
||||||
|
" направляющий вектор плоскости P" |
|
||||
nP |
|
|||||
NP
М
М0 Р(М0;NP)
«Уравнение плоскости», связывающее координаты точек плоскости, получим из условия ортогональности векторов M0M и nP :
|
|
|
|
x x0 |
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
y y0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
M 0 M nP |
n2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
nx z0 |
|
n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
_ | _ P) n1 x x0 n2 y y 0 n3 z z0 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
P(M 0 P; nP |
n2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n3 |
|
|
||
направляющий вектор плоскости |
координатное уравнение плоскости |
||||||||||
nP |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|
Следствия.
(1) Всякое уравнение AX+BY+CZ+D=0, линейное относительно координат точки, определяет в R3 плоскость, при этом коэффициенты при координатах точки определяют координаты вектора
NP, если соответствующие слагаемые находятся в одной части уравнения.
Любая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению, принадлежит плоскости!
3
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1,1,0]t |
|
|
|
|
|
|| OZ P || OZ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) P1 : x y 3 M 0 (1,2, z0 R) P P M0 (1,2,5); nP |
Z nP |
||||||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
(1,0, z 2 1 3); |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||||
P2 : 2 x 3 y z 1 P M |
0 |
nP 2 |
[2, 3, 1] ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P1 P2 |
|
|
|
|
|
n |
P1 |
n |
P |
2 |
|
|||||
(2) |
Угол между плоскостями: |
|
(n |
|
n |
|
) ARCCOS |
|
|
|
|
||||||||||
|
P1 |
P 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|| nP1 |
|| || nP 2 |
|| |
|||||
|
N1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LP1
Условие параллельности |
|
P1|| P2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
nP1 |
, nP 2 |
коллинеорны nP1 |
nP 2 |
|
|
||||||
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
перпендикулярности плоскостей |
|
P1 |
P2 nP1 |
, nP 2 |
ортогональны nP1 |
nP 2 |
2 |
|||||
(4) Линия L пересечения двух плоскостей L=Р1 |
Р2: |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
L P1 P2 |
|
|
|
1. |
Ур е 1( |
, y, z) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
: |
|
|
|
P x |
|
|
СЛАУ : m 2, n 3 |
||||
|
|
|
|
|
0 |
Ур е |
|
|
|
||||||||||||
L( M |
0 |
; S |
L |
) |
|
|
|
|
|
2. |
P2( x, y, z) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
| |
| P2 |
|
|
|
SL |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
P1 |
n1 |
n 2 SL [n1 x n |
2] |
||||||||||||||
(5) Плоскость через три точки, не лежащие на одной прямой:
|
|
|
|
|
|
|
[ AB AC] |
||||||
A, B, C P P M0 {A, B, C};nP |
||||||
(6) Угол между прямой L и плоскостью P.
Углом между прямой и плоскостью называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S |
n |
|
|
|
|
|
S |
n |
|
|
|
|||||||||||||
( L P) |
|
(SL |
nP ) SIN ( L P) COS (S |
nP ) |
|
L |
|
|
P |
|
; |
( L P) ARCSIN |
|
L |
|
|
|
P |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NP |
SL |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ТР по теме “Аналитическая геометрия”.
Задание. По заданным своими координатами точкам А1,А2,А3,А4
Найти: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
уравнения плоскости |
P1 : A1, A2. A3 P1; |
|
|
2 балла |
|||
2. |
уравнения плоскости |
P2 : A1, A3, A4 P2. |
|
|
2 балла |
|||
2. |
уравнение прямой L : A1, A4 L; |
|
|
2 балла |
||||
3. |
косинус угла и угол между Р1 и Р2 и; |
|
|
2 балла |
||||
4. |
синус угла и угол между L и Р1 |
|
|
2 балла |
||||
5. расстояние Н от точки А4 до плоскости P1 |
баллов; |
|
2 балла |
|||||
------------------------------------------ |
|
|
|
максимум = 12 |
зачет > 6 баллов |
|||