Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / ЛВП -4 НО и R3
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§4 ЛВП «направленных отрезков» и ЛВП R3. Скалярное и векторное произведения векторов.
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x |
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r{x, y, z} x i y j z k |
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OXYZ (i , j , k ) |
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i , j , k |
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В дальнейшем будем отождествлять ЛВП R3 и ЛВП Н.О. в координатном пространстве,-
-«изображать» вектор в виде направленного отрезка и
-использовать для решения «геометрических задач» аппарат векторной алгебры.
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С О О Т В Е Т С Т В И Е |
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ЛВП |
R3 |
OXYZ (i , j , k ) |
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(1) - вектор |
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↔ |
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a [x, y, z]T |
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x A |
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xB |
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A( x A , y A , z A ) |
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y A |
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yB |
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rA |
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; rB |
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z A |
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zB |
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B( xB , yB , zB ) |
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- норма вектора |
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|| a || = |
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x 2 y 2 z 2 |
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П О Н Я Т И Й
ЛВП Н.О.
O A (X,Y,Z) – направленный отрезок,
A B ( xB x A , yB y A , zB z A )| a | длина Н.О.,
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, a2 , a3 ]T ; b [b1 , b2 , b3 ]T |
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(2) СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ a [a1 |
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a b (a, b) a1 |
b1 |
a2 b 2 |
a3 b3 |
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a |
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b |
cos(a^ |
b) |
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A |
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A-B |
ПРB(а) |
B |
2
a b
2 a
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т.косинусов : |
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b |
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2a |
b |
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a b |
a |
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b |
cos(a |
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b) |
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a |
b |
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a |
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a |
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COS( ) |
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2.1 косинус угла и угол между направленными отрезками:
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a b |
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cos(a^ b) |
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(a^ b) ARCCOS |
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[0; ] |
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↔ |
c 0 |
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( = 0) |
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b |
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коллинеарность векторов |
a |
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b c a |
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( = ) |
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c 0 |
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b |
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a |
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пропорциональность координат векторов ↔ |
параллельность Н.О. |
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↔ перпендикулярность н.о. |
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┴ b ( = /2) |
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Ортогональность векторов |
a b 0 |
a |
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2.2Алгебраическая ПРоекция () одного н.о. на другой
ПР (a) a COS(a^ b) a b
b b
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ПРB(а) = ||A||∙COS(α) = |
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a |
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ПР|ПР(а)(>0а)>0 ПР| |
(а)<0 |
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3) ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ a |
b [a, b] |
ВЕКТОРОВ a, b R3 |
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k |
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по R1 |
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c a b [a, b] " det |
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k DET |
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a1 |
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a2 |
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" |
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b2 |
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b3 |
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b1 |
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b1 |
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_ | _ c |
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b _ | _ c |
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a _ | _c |
a b_ | _b |
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ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ a |
b [a, b] определяет Н.О., перпендикулярный множителям!! |
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(4) – нормированный базис |
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↔ система координат XYZ(e1, e2 , e3 ) |
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↔прямоугольная система |
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ортонормированный базис |
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0.548; 123o π/2 |
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0 |
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1 |
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B [ a, b, d] |
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2 |
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1 |
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B1 [a, b, c] |
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2 |
2 |
1 |
DET( B1) 21 0 базис; |
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1 не нормированный |
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b |
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не ортогональный |
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1 / 5 |
2 / |
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B2 [e1 |
, e2 |
, e3 |
1 / 6 |
21 |
X ' Y ' Z ' e1 |
, e2 |
, e |
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2 |
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2 |
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