Первый семестр / Лекции ФЭЛ вечерка МУС К.Ф. / ЛВП / 6 Собственные значения квадратной матрицы

вектор x в вектор y :

A

x y A x

Например,

A

1

1

1

0

;

2

4

; x1

1

y1

A x1

6

y1

x1

y1

1

x1

2;

y1

6 k1

3

2 1 ( x1 y1)

ARCCOS

рад.(45о )

x1

x1

y1

2

4

1

2

A

Y 2

x 2

1

y2

2

2 x 2 ; k 2

2

2 ( x

2 y

2)

0

X 2

A

В общем случае, отображению

X

Y A X соответствуют два геометрических преобразования вектора:

" поворот" на угол α и " растяжения" с коэффициентом растяжения K=||Y|| / ||X||.

Однако, для матрицы АN

существуют "особенные векторы", которые отображаются матрицей в коллинеарные

A

векторы: X Y A

X

X .

Известно, что:

! X 0, DET( A) 0

(01) Однородная СЛАУ A X

0

{X }, DET( A) 0

(0)

(02)

A X

B C \ {0} : A ( X ) ( B)

(03)

B C Pn ( z) 0 z {z1 , z1 ,..., zn } c учётом кратности.

8

6

10

. Каким собственным числам они соответствуют?

A3

6

24

6

10

6

8

(a11 )

a12

...

a1n

(2) n

0

(a22 )

a2n

P

( ) DET

...

(a

) 0 λ {λ

i

a

ii

, i 1 n}

ATP

...

...

...

...

1

ii

0

0

...

(ann )

Замечание.

Из представления полинома PA (λ ) DET( A I ) в виде суммы степеней λ и в виде

произведения

P ( ) ( 1)n n

c

λ n 1

...c1 c

0

( 1)n ( 1 ) ( 2 ) ... ( n )

A

n

1

n

n

следуют формулы для суммы λ i

и произведения i

собственных чисел матрицы А :

1

1

n

( 1)n 1 c

λ i

n 1

1

n

λ

i

c

λ

0

1

3. {x

}? СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

x λ , соответствующие собственному числу

, как

ненулевые решения Однородной СЛАУ с вырожденной матрицей

( A I ) x

0

(01)

x

0

{x λ }

(3)

DET( A I ) 0

λ

находятся неоднозначно: если

x - собственный вектор, соответствующий собственному

λ , то (02) 0 :

числу.

x

- собственный вектор, соответствующий собственному числу

3

x

λ {x } e

||

.; || e || 1

|| x